1.1 Le equazioni di secondo grado
1.4 Esempi di risoluzione
- Risolvere l’equazione \( 6x (x + 3) - (2x + 1)^2 - 15x - 2 = 0 \)
Per prima cosa si svolgono i conti per ricondursi alla forma \(ax^2+bx+c=0\):
\( 6x^2 + 18x - 4x^2 - 4x - 1 - 15x - 2 = 0 \)
\( 2x^2-x-3=0 \)
A questo punto si applica la formula risolutiva:
in questo caso \( a=2, b=-1, c=-3 \) quindi
\( x_{1,2}= \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ = \frac{ 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot2 \cdot(-3)}}{2 \cdot2}\ \ = \frac{ 1 \pm \sqrt{25}}{4}\ \ \)
Essendo il discriminante positivo, si hanno 2 soluzioni reali distinte:
\( x_1 = \frac{1-5}{4}\ \ = -1 \)
\( x_2 = \frac{1+5}{4}\ = \frac{3}{2}\ \ \)
- Risolvere l’equazione \( (x-1)^2+x(\frac{5}{2}\ + 1) + \frac{1}{3}\ =0 \)
Si svolgono i conti per ricondursi alla forma \(ax^2+bx+c=0\):
\( x^2 - 2x + 1 + \frac{7}{2}x + \frac{1}{3} = 0 \)
\( \ \frac{6x^2 - 12x +6 + 21x + 2}{6}\ \ = 0\)
\( 6x^2+9x+8 = 0 \)
Si osserva che il determinante è negativo:
\( \Delta = 81 -192 = -111 \)
Di conseguenza non ci sono soluzioni reali.