2.1 Le funzioni quadratiche

Il grafico di una funzione quadratica è una curva chiamata parabola: non tutte le parabole, però, sono grafici di funzioni quadratiche, solo quelle con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate.

La parabola è una particolare figura piana; si tratta di una particolare sezione conica, come l'ellisse e l'iperbole.

Può essere definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta assegnata d (detta direttrice) e da un punto fisso F non appartenente alla direttrice (detto fuoco).

L’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate è: y = ax² + bx + c ;

mentre con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse è: x = ay² + by + c .

Ciascuno dei coefficienti di questa equazione ha un ruolo particolare; consideriamo il caso di parabola di equazione y=ax²+bx+c:

• il coefficiente a determina l'"apertura" della parabola ed è spesso chiamato concavità della parabola:
  a>0: concavità verso l'alto
  a<0: concavità verso il basso
  a=0: la parabola degenera in una retta
  Inoltre, quanto più il valore assoluto di a è grande, tanto più la parabola ha una concavità accentuata (è più "stretta").
  
  
• Il coefficiente b determina la pendenza con cui la parabola interseca l'asse delle ordinate.
  b è legato alla posizione dell'asse della parabola (la retta verticale passante per il vertice), che ha equazione x=\( \frac{-b}{2a} \).
  In particolare, se b vale zero il vertice della parabola appartiene all'asse y e quindi l'asse della parabola coincide con l'asse delle ordinate.
  
  
• Il coefficiente c determina il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.
  Cioè il punto di intersezione tra la parabola (y=ax²+bx+c) e l'asse delle y (x=0) avrà coordinate (0,c).
  Se il termine c è nullo, la parabola passa per l'origine degli assi.