3.1 Gli zeri di una funzione quadratica
1.2 Esempi
Esempio 1.
Trova gli zeri della parabola y=4x2-5x+1.
Risoluzione.
Gli zeri di una parabola sono quei punti in cui interseca l'asse delle ascisse.
L'equazione di questo è y=0, per cui per calcolarli basta costruire un sistema tra l'equazione della parabola y=4x2-5x+1 e y=0.
Da questo risulta 4x2-5x+1=0.
Calcoliamo il discriminante Δ=b2-4ac=(-5)2-4(4)(1)=25-16=9. Dato che Δ=9>0 ci aspettiamo di trovare due soluzioni distinte x1 e x2:
x1=\( \frac{-b- \sqrt{ {b}^{2} -4ac} }{2a} \)=\( \frac{5- \sqrt{ 9} }{8} \)=\( \frac{5-3}{8} \)=\( \frac{2}{8} \)=\( \frac{1}{4} \) e
x2=\( \frac{-b+ \sqrt{ {b}^{2} -4ac} }{2a} \)=\( \frac{5+ \sqrt{ 9} }{8} \)=\( \frac{5+3}{8} \)=\( \frac{8}{8} \)=1
cioè la parabola interseca l'asse delle ascisse in P1(x1,0)=(\( \frac{1}{4} \) ,0) e P2(x2,0)=(1,0).
Esempio 2.
Risolvi l'equazione 2x2-5=0.
Risoluzione.
In questo caso abbiamo b=0 quindi la nostra parabola sarà simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (cioè il vertice si troverà sull'asse delle y).
Per risolverla isoliamo la x2: x2=\( \frac{5}{2} \)
Dato che \( \frac{5}{2} \)≥0 allora otterremo le due soluzioni:
x1=\( -\sqrt{ \frac{5}{2} } \) e
x2= \(+\sqrt{ \frac{5}{2} }\) .
Esempio 3.
Risolvi l'equazione 3x2-2x=0.
Risoluzione.
In questo caso abbiamo c=0 quindi la nostra parabola passerà per l'origine.
Per risolverla prima raccogliamo la x: x(3x-2)=0
quindi utilizziamo la regola dell'annullamento del prodotto e otteniamo: x=0 e 3x-2=0
Le due soluzioni saranno quindi x1=0 e x2=\( \frac{2}{3} \).