3.1 Gli zeri di una funzione quadratica

 Esempio 1.

Trova gli zeri della parabola y=4x²-5x+1.

Risoluzione.

Gli zeri di una parabola sono quei punti in cui interseca l'asse delle ascisse. 

L'equazione di questo è y=0, per cui per calcolarli basta costruire un sistema tra l'equazione della parabola y=4x²-5x+1 e y=0.

Da questo risulta 4x²-5x+1=0.

Calcoliamo il discriminante Δ=b²-4ac=(-5)²-4(4)(1)=25-16=9. Dato che Δ=9>0 ci aspettiamo di trovare due soluzioni distinte x₁ e x₂:

x₁=$\frac{-b- \sqrt{ {b}^{2} -4ac} }{2a}$=$\frac{5- \sqrt{ 9} }{8}$=$\frac{5-3}{8}$=$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$ e

x₂=$\frac{-b+ \sqrt{ {b}^{2} -4ac} }{2a}$=$\frac{5+ \sqrt{ 9} }{8}$=$\frac{5+3}{8}$=$\frac{8}{8}$=1 

cioè la parabola interseca l'asse delle ascisse in P₁(x₁,0)=($\frac{1}{4}$ ,0) e P₂(x₂,0)=(1,0).

Esempio 2.

Risolvi l'equazione 2x²-5=0.

Risoluzione.

In questo caso abbiamo b=0 quindi la nostra parabola sarà simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (cioè il vertice si troverà sull'asse delle y).

Per risolverla isoliamo la x²: x²=$\frac{5}{2}$

Dato che $\frac{5}{2}$≥0 allora otterremo le due soluzioni: 

x₁=$-\sqrt{ \frac{5}{2} }$ e 

x₂= $+\sqrt{ \frac{5}{2} }$ . 

Esempio 3.

Risolvi l'equazione 3x²-2x=0.

Risoluzione.

In questo caso abbiamo c=0 quindi la nostra parabola passerà per l'origine.

Per risolverla prima raccogliamo la x: x(3x-2)=0

quindi utilizziamo la regola dell'annullamento del prodotto e otteniamo: x=0 e 3x-2=0

Le due soluzioni saranno quindi x₁=0 e x₂=$\frac{2}{3}$.