1.1 Definizione di limite
1. Definizione di limite
1.3. Definizione limite finito all'infinito
Definizione. Si dice che \( l \in \mathbb{R} \) è il limite della funzione \( y=f(x) \) per \( x \) tendente all'infinito e si scrive\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=l \)
se per ogni intorno di \( l \) di raggio \( \epsilon \) esiste un numero reale \( M>0 \) tale che:
\( |x|>M \Rightarrow |f(x)-l|<\epsilon \),
ovvero se \( f(x) \) si avvicina arbitrariamente ad \( l \) a patto di prendere \( x \) sufficientemente grande.
In tale caso la retta \( y=l \) è un asintoto orizzontale per la funzione.
Esempio. Dato il limite:
\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{e^{-x}+2}=2 \)
Si può vedere dalla figura:
che più i valori della variabile \( x \) aumentano (tendendo a infinito), più i valori della variabile \( y \) si avvicinano al valore \( 2 \), ovvero la funzione si avvicina alla retta \( y=2 \) che rappresenta un asintoto orizzontale.