Calcolo dei limiti

Teorema (unicità del limite)

Una funzione \( y=f(x) \) non può avere due limiti diversi per \( x \) tendente ad \( a \), ovvero se esiste il \( \displaystyle \lim_{x \to a}{f(x)}=l \) tale limite è unico (dove i simboli \( l \) ed \( a \) possono indicare sia un numero reale sia \( \infty \)).

Teorema (permanenza del segno)

Se una funzione ha limite non nullo per \( x \) tendente ad \( a \), allora in un intorno di \( a \) la funzione ha lo stesso segno del limite.

Teorema (del confronto)

In un intorno di \( a \), al più escluso \( a \), sono definite le funzioni \( h(x) \), \( g(x) \) e \( f(x) \) e vale \( h ( x ) \leq   f ( x )   \leq g ( x ) \).

Si ha che se  \( h ( x ) \) e \( g ( x ) \)  tendono ad un limite finito \( l \) per \( x \) tendente a \( a \) allora anche \( \displaystyle \lim_{x \to a}{f(x)}=l \).

Operazioni con limiti finiti

Se esistono, finiti, i limiti 

\( \displaystyle \lim_{x \to a}{f(x)}=l \)   e   \( \displaystyle \lim_{x \to a}{g(x)}=m \)

con \( l, m \in \mathbb{R} \), allora:

• \( \displaystyle \lim_{x \to a}{\left (f(x) \pm g(x) \right )}=l \pm m\)
  
  
• \( \displaystyle \lim_{x \to a}{-f(x)}=-l \)
  
  
• \( \displaystyle \lim_{x \to a}{\left (f(x) \cdot g(x) \right )}=l \cdot m\)
  
  
• \( \displaystyle \lim_{x \to a}{\left (\frac{f(x)}{g(x)} \right )}=\frac{l}{m} \)
  
  
• \( \displaystyle \lim_{x \to a}{(k \cdot f(x))}=k \cdot l \)   con   \( k \in \mathbb{R} \)