2.1 Proporzioni
1.4 Relazioni di proporzionalità
Proporzionalità inversa
Consideriamo ora il tempo impiegato a percorrere 100 km (y, variabile dipendente) in funzione della velocità (x, variabile indipendente): è evidente che se la velocità aumenta il tempo diminuisce. Si tratta quindi di un caso diverso da quello della proporzionalità diretta dove, abbiamo visto, se aumenta la variabile indipendente aumenta anche la variabile dipendente.
Velocità (km/h) x | Tempo per percorrere 100 km (h) y | Prodotto (km) |
|---|---|---|
| 5 | 20 | 100 |
| 10 | 10 | 100 |
| 20 | 5 | 100 |
| 25 | 4 | 100 |
| 50 | 2 | 100 |
| 100 | 1 | 100 |
Eseguiamo il rapporto tra due qualsiasi valori della x e i corrispondenti valori della y:
\( \mathbf{\frac{x_1}{x_2}}\) |
\( \mathbf{\frac{y_1}{y_2}}\) |
|---|---|
\( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \) |
\( \frac{20}{10} = 2 \) |
\( \frac{5}{50} = \frac{1}{10} \) |
\( \frac{20}{2} = 10\) |
\( \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \) |
\( \frac{10}{2} = 5\) |
Notiamo che, in questo caso, se la velocità di percorrenza raddoppia, il tempo di percorrenza si dimezza; se triplica la velocità, il tempo di percorrenza si riduce a un terzo del valore precedente, .... Due grandezze tra le quali esiste una relazione di questo tipo si dicono inversamente proporzionali.
Osservando la tabella possiamo notare che tra due grandezze inversamente proporzionali vale la proporzione:
\( x_1 : x_2 = y_2 : y_1 \)
Sapendo che se mantengo una velocità di 5 km/h impiego 20 ore a percorrere 100 km
- per sapere quanto tempo impiego a percorrere lo stesso spazio se vado alla velocità di 4 km/h devo risolvere la proporzione
\( 5 : 4 =y : 20\)
Quindi \( y= \frac{5 \cdot 20}{ 4} = 25 \) h per sapere a che velocità devo andare se voglio percorrere lo stesso spazio in 1 h devo risolvere la proporzione
\( 5 : x = 1 : 20 \)
Quindi \( x=\frac{20 \cdot 5}{1} = 100 \) km/h