6.1 Logica

Consideriamo la proposizione:

"Se vieni a casa, allora ti potrò far leggere la ricerca"

Questa rappresenta una proposizione composta da due proposizioni unite fra loro dai connettivi logici "se... allora"; nel suo insieme si può verificare solo se si verifica la prima delle due proposizioni ("andare a casa") che rappresenta la condizione affinché la seconda ("leggere la ricerca") si possa verificare.

I connettivi "se...allora", "...quindi", "... perciò" si dicono implicazioni logiche; la proposizione composta che utilizza questi connettivi si chiama implicazione ed il suo simbolo matematico è \( \Rightarrow \) e si legge "implica".

Per esempio consideriamo le proposizioni:

p: "Mario è torinese"                  q: "Mario è italiano"

la proposizione \( p \Rightarrow q \) sarà: "Mario è torinese quindi è italiano"

è evidente da questo esempio che:

• \( p \Rightarrow q \) è vera solo se, essendo vera p, risulta vera anche q
  
• Non è detto che la relazione di implicazione sia invertibile, ovvero da \( p \Rightarrow q \) NON segue necessariamente \( q \Rightarrow p \)
  Riprendendo l'esempio, infatti, è sicuramente vero che "Se Mario è torinese allora è italiano" ( \( p \Rightarrow q \) ) mentre non è detto che sia vero "Se Mario è italiano allora è torinese" (\( q \Rightarrow p \))

Quando invece  è vera \( p \Rightarrow q \)  ed è vera anche \( q \Rightarrow p \) si parla di doppia implicazione logica;  si scrive \( p \Leftrightarrow q \) dove il simbolo \( \Leftrightarrow \) si legge "se e solo se" 

Ad esempio consideriamo le proposizioni:

p: "12 è un numero pari"                  q: "12 è divisibile per 2"

\( p \Rightarrow q \) : "12 è un  numero pari quindi è divisibile per 2" è vera

ma anche

\( q \Rightarrow p \) : "12 è un  numero divisibile per 2 quindi è pari" è vera

si tratta quindi di una coimplicazione che possiamo riscrivere come:

\( p \Leftrightarrow q \) : "12 è un numero pari se e solo se è divisibile per due"