2.1 Proporzioni

Un rapporto è un confronto tra grandezze. 

Il rapporto è probabilmente il metodo più antico escogitato dall'uomo per stimare le dimensioni di un oggetto, un animale, una pianta; ad esempio Mowgli nella giungla può farsi un'idea precisa del peso dell'orso bianco (circa 600 kg) se gli si dice che è circa quanto tre leoni (200 kg) messi insieme, infatti conosce il leone molto meglio del chilogrammo. 

Confrontiamo quindi il peso dell'orso bianco con il peso del leone, usando il leone, molto conosciuto, come unità di misura: 

\( \frac{600}{200} = \frac{6}{2} = 3 \)

In generale, il rapporto viene usato per confrontare tra di loro due grandezze, ed esprime la misura della prima per mezzo della seconda, presa come unità.

Matematicamente il rapporto si esprime per mezzo del quoziente tra due numeri, e si scrive sotto forma di divisione o frazione: 

\( a : b \)  oppure  \( \frac{a}{b} \)

Il primo dei due numeri (a) è detto antecedente, il secondo (b) conseguente, e deve essere diverso da zero (non si può dividere un numero per zero, e non ha senso confrontare una grandezza rispetto a zero!). 

Una proporzione è un'uguaglianza di rapporti.

Tra le coppie di numeri (6, 2) e (9, 3) esiste lo stesso rapporto: 

\( 6 : 2 = 3;  9 : 3 = 3 \)

Allora possono essere disposti in una proporzione, e scritti in questo modo: 

\( 6 : 2 = 9 : 3 \) oppure \( \frac{6}{2} = \frac{9}{3} \)

Infatti le due divisioni danno lo stesso quoziente, le due frazioni sono equivalenti. 

La proporzione si legge: "sei sta a due come nove sta a tre".

Una proporzione si dice continua quando i termini medi sono uguali, ad esempio: 

12 : 6 = 6 : 3, oppure \( \frac{12}{\mathbf{6}} = \frac{\mathbf{6}}{3} \)

In questo caso il valore 6 è anche detto medio proporzionale.

Proprietà fondamentale delle proporzioni

In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. 

Se è vero che a : b = c : d, allora \( a \cdot d = b \cdot c \). 

Ad esempio, data la proporzione 6 : 2 = 15 : 5, possiamo verificare che  \(6 \cdot 5 = 30 \) , così come \( 2 \cdot 15 = 30 \).

Proprietà dell'invertire

Se in una proporzione si scambiano entrambi gli antecedenti con i rispettivi conseguenti, si ottiene ancora una proporzione. 

Se a : b = c : d è una proporzione, allora anche b : a = d : c è una proporzione.

Ad esempio, data la proporzione 3 : 4 = 15 : 20, anche 4 : 3 = 20 : 15 è una proporzione.

Proprietà del permutare

Se in una proporzione si scambiano tra di loro i medi, oppure gli estremi, si ottiene ancora una proporzione. 

Se a : b = c : d è una proporzione, allora anche a : c = b : d è una proporzione, e d : b = c : a è una proporzione.

Ad esempio, data la proporzione 2 : 8 = 3 : 12, anche 

• 2 : 3 = 8 : 12
• 12 : 8 = 3 : 2

Quando tra due grandezze variabili è possibile definire una relazione, come ad esempio l'altezza di un bambino rispetto alla sua età, o lo stipendio guadagnato in dipendenza del numero di mesi di lavoro, allora è possibile distinguere una variabile dipendente, che cambia il valore a seconda di come varia la variabile indipendente. 

Ad esempio se in cartoleria pago 1.50 € per ogni quaderno acquistato, la spesa totale varia a seconda del numero di quaderni che compro. Il numero di quaderni è la variabile indipendente, che indichiamo con \( x \), mentre la spesa è la variabile dipendente, che indichiamo con \( y \). 

Possiamo notare che se aumento il numero di quaderni che desidero comprare aumenta anche la spesa totale che devo effettuare. In particolare se il numero di quaderni raddoppia, allora raddoppia anche la spesa che devo fare per comprarli.

Nell'esempio precedente notiamo che, dividendo la spesa ( \( y \) ) per il numero di quaderni ( \( x \) ) otteniamo sempre \(1.5 \): 

\( \frac{3}{2} = 1.5 \)

\( \frac{6}{4} = 1.5 \)

\( \frac{30}{20} = 1.5 \)

Una relazione come questa, cioè tale per cui il rapporto tra le variabili è costante, si dice proporzionalità diretta. Sapendo che 1 quaderno costa 1.50 € possiamo sapere quanto spenderemo (\( y \)) per comprare un numero qualsiasi (\(x\)) di quaderni impostando la proporzione: 

\( 1.50 : 1 = y : x \)

• Per sapere quanto spenderò per comprare 13 quaderni devo risolvere la proporzione: 

\( 1.50 : 1 = y : 12 \)

Quindi \( y = 12 \cdot 1.50 =18 \)

• Per sapere quanti quaderni posso comprare con \( 27 € \) devo risolvere la proporzione:

\( 1.50 : 1 = 27 : x \)

Quindi \( x = \frac{27}{1.50} = 18\)

Consideriamo ora il tempo impiegato a percorrere 100 km (y, variabile dipendente) in funzione della velocità (x, variabile indipendente): è evidente che se la velocità aumenta il tempo diminuisce. Si tratta quindi di un caso diverso da quello della proporzionalità diretta dove, abbiamo visto, se aumenta la variabile indipendente aumenta anche la variabile dipendente.

Eseguiamo il rapporto tra due qualsiasi valori della x e i corrispondenti valori della y:

 Notiamo che, in questo caso,  se la velocità di percorrenza raddoppia, il tempo di percorrenza si dimezza; se triplica la velocità, il tempo di percorrenza si riduce a un terzo del valore precedente, .... Due grandezze tra le quali esiste una relazione di questo tipo si dicono inversamente proporzionali.

Osservando la tabella possiamo notare che tra due grandezze inversamente proporzionali vale la proporzione:

\( x_1 : x_2 = y_2 : y_1 \)

Sapendo che se mantengo una velocità di 5 km/h impiego 20 ore a percorrere 100 km

• per sapere quanto tempo impiego  a percorrere lo stesso spazio se vado alla velocità di 4 km/h devo risolvere la proporzione
  

  
  \( 5 : 4 =y : 20\)
  
  Quindi \( y= \frac{5 \cdot 20}{ 4} = 25 \) h

• per sapere  a che velocità devo andare se voglio percorrere lo stesso spazio in 1 h devo risolvere la proporzione
  
  

  \( 5 : x = 1 : 20 \)
  
  Quindi \( x=\frac{20 \cdot 5}{1} = 100 \) km/h