2.2 Proprietà delle proporzioni
| Sito: | E-Learning PP&S |
| Corso: | Classe Prima - AI4 - Istituto Tecnico Industriale e Telecomunicazioni 4 anni |
| Libro: | 2.2 Proprietà delle proporzioni |
| Stampato da: | Utente ospite |
| Data: | mercoledì, 4 dicembre 2024, 19:52 |
Descrizione
Di seguito si illustrano le proprietà delle proporzioni
2.1 Proprietà fondamentale delle proporzioni
In una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Se è vero che \( a : b = c : d \), allora \( a \cdot d = b \cdot c \).
Ad esempio, data la proporzione \( 6 : 2 = 15 : 5 \), possiamo verificare che \(6 \cdot 5 = 30 \) , così come \( 2 \cdot 15 = 30 \).
2.2 Proprietà dell'invertire
Se in una proporzione si scambiano entrambi gli antecedenti con i rispettivi conseguenti, si ottiene ancora una proporzione.
Se a : b = c : d è una proporzione, allora anche b : a = d : c è una proporzione.
Ad esempio, data la proporzione 3 : 4 = 15 : 20, anche 4 : 3 = 20 : 15 è una proporzione.
2.3 Proprietà del permutare
Se in una proporzione si scambiano tra di loro i medi, oppure gli estremi, si ottiene ancora una proporzione.
Se a : b = c : d è una proporzione, allora anche a : c = b : d è una proporzione, e d : b = c : a è una proporzione.
Ad esempio, data la proporzione 2 : 8 = 3 : 12, anche
- 2 : 3 = 8 : 12
- 12 : 8 = 3 : 2
2.4 Proprietà del comporre
- In ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la somma degli altri due termini sta al terzo (o al quarto) termine.
- In ogni proporzione la somma dei primi due termini sta al primo (o al secondo) termine come la somma degli altri due termini sta al terzo (o al quarto) termine.
Se a : b = c : d è una proporzione, allora anche (a+b) : a = (c+d) : c è una proporzione, e (a+b) : b = (c+d) : d è una proporzione.
Ad esempio, data la proporzione 2 : 5 = 4 : 10, anche
- 7 : 2 = 14 : 4
- 7 : 5 = 14 : 10
- In ogni proporzione la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente.
- In ogni proporzione la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente.
Se a : b = c : d è una proporzione, allora anche (a+c) : (b+d) = a : b è una proporzione, e (a+c) : (b+d) = c : d è una proporzione.
Ad esempio, data la proporzione 10 : 5 = 4 : 2, anche
- (10 + 4) : (5 + 2) = 10 : 5, cioè 14 : 7 = 10 : 5
- (10 + 4) : (5 + 2) = 4 : 2, cioè 14 : 7 = 4 : 2
2.5 Proprietà dello scomporre
- In ogni proporzione la differenza fra i primi due termini (quando è possibile eseguirla) sta al primo (o al secondo) termine come la differenza fra gli altri due termini sta al terzo (o al quarto) termine.
- In ogni proporzione la differenza fra i primi due termini (quando è possibile eseguirla) sta al primo (o al secondo) termine come la differenza fra gli altri due termini sta al terzo (o al quarto) termine.
Se a : b = c : d è una proporzione, allora anche (a-b) : a = (c-d) : c è una proporzione, e (a-b) : b = (c-d) : d è una proporzione.
Ad esempio, data la proporzione 5 : 2 = 10 : 4, anche
- 3 : 2 = 6 : 4
- 3 : 5 = 6 : 10
- In ogni proporzione la differenza degli antecedenti (quando è possibile eseguirla) sta alla differenza tra i conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente.
- In ogni proporzione la differenza degli antecedenti (quando è possibile eseguirla) sta alla differenza tra i conseguenti come un antecedente sta al proprio conseguente.
Se a : b = c : d è una proporzione, allora anche (a-c) : (b-d) = a : b è una proporzione, e (a-c) : (b-d) = c : d è una proporzione.
Ad esempio, data la proporzione 10 : 5 = 4 : 2, anche
- (10 - 4) : (5 - 2) = 10 : 5, cioè 6 : 3 = 10 : 5
- (10 - 4) : (5 - 2) = 4 : 2, cioè 6 : 3 = 4 : 2
2.6 Determinare un termine incognito in una proporzione
RICORDA: si usa indicare un termine incognito, cioè non ancora conosciuto, con la lettera x.
Quando in una proporzione non conosciamo uno dei termini, che quindi compare con il simbolo x, possiamo ricorrere alla proprietà fondamentale delle proporzioni per determinare il suo valore. In sostanza si trasforma la proporzione in un'uguaglianza di prodotti: il prodotto dei medi e il prodotto degli estremi.
Possiamo distinguere due casi: quando il termine incognito è un medio oppure un estremo della proporzione, oppure quando il termine incognito è medio proporzionale.Se il termine incognito è un medio oppure un estremo
Ad esempio, data la proporzione x : 5 = 6 : 3, sappiamo che, per la proprietà fondamentale delle proporzioni,
\( x \cdot 3 = 5 \cdot 6 \)
Ma sapendo che l'operazione inversa della moltiplicazione è la divisione:
\( x = \frac{5 \cdot 6}{3} \) quindi \( x = 10 \)
Se il termine incognito è medio proporzionale
Data la proporzione
\( 12 : x = x : 3 \)
Applicando la proprietà fondamentale si ha:
\( 12 \cdot 3 = x \cdot x \) cioè \( 36 = x^2 \)
Se \( x^2 \) è il quadrato di x, anche 36 è il quadrato del valore incognito, quindi è necessario estrarre la radice quadrata del prodotto degli estremi:
se \( x^2 = 36 \) allora \( x = \sqrt{36} = 6 \)
Infatti 12 : 6 = 6 : 3.