3.1 Potenze

L'elevamento a potenza è l'operazione aritmetica che permette di associare a due numeri, base ed esponente, un terzo numero, potenza, che si ottiene moltiplicando la base per se stessa tante volte quante sono le unità dell'esponente. 

\( a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a \)

       (n volte)

Esempi:

\( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)

\(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32 \)

• Se \( a  \) è un numero intero qualsiasi, \( a^1 = a \).
• Se \( a  \) è un numero intero diverso da 0, \( a^0 = 1 \).
• Se \( n  \) è un numero naturale, \( 1^n = 1 \).
• Se \( n  \) è un numero naturale, \( 0^n = 0 \).
• La potenza \( 0^0 \) non ha nessun significato.

• \( a^n \cdot a^m = a^{n+m} \)
• \( a^n : a^m = \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \)
• \( (a^n)^m = a^{n \cdot m} \)
• \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)
  
• \( \frac{a^n}{b^n} = a^n : b^n = ( \frac{a}{b} )^n \)
  

L'operazione di elevamento a potenza si può effettuare anche con i numeri negativi e razionali.

Base negativa

\( (-a)^n = \bigg \{ \begin{array}{rl} a^n & n \text{ pari} \\ -a^n & n \text{ dispari} \\ \end{array} \)

Esponente negativo

\( a^{-1} = \frac{1}{a} \)

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

\( ( \frac{a}{b}) ^{-n} = (\frac{b}{a} )^n \)

Esponente razionale

\( {a}^{ \frac{1}{n} } = \sqrt[n]{a} \)

\( {a}^{ \frac{m}{n} } = \sqrt[n]{a^m} \)