4.1 Equazioni

"Un numero più se stesso è uguale al doppio del numero stesso."

Tradotta in linguaggio matematico, sostituendo l'incognita \(x \) alla parola numero, l'espressione diventa: 

\( x+x=2 \cdot x \)

Possiamo verificarne la validità sostituendo l'incognita \(x \) con un qualunque valore numerico: 

• \( x=1,\quad 1 + 1 = 2 = 2 \cdot 1 \) 
• \( x=3,\quad 3 + 3 = 6 = 2 \cdot 3 \) 
• \( x=\frac{3}{5},\quad \frac{3}{5} + \frac{3}{5} = \frac{6}{5} = 2 \cdot \frac{3}{5} \) 

Un'uguaglianza tra due espressioni, delle quali almeno una letterale, verificata per qualunque valore assegnato alle incognite che vi figurano, si chiama identità.

Consideriamo ora la seguente espressione: 

"Il quadruplo di un numero è uguale a se stesso più 9."

Questa frase, tradotta in linguaggio matematico, sostituendo alla parola numero l'incognita \(x \), diventa: 

\( 4 \cdot x = x + 9 \)

Anche in questo caso possiamo provare a sostituire all'incognita \( x \) diversi valori, ma non per tutti l'uguaglianza è verificata:

• \( x = 2, \quad 4 \cdot 2 = 2 + 9, \quad 8 \neq 11 \)
• \( x = 3, \quad 4 \cdot 3 = 3 + 9, \quad 12 = 12 \)
  
• \( x = 5, \quad 4 \cdot 5 = 5 + 9, \quad 20 \neq 14 \)
  

Provando anche con altri valori risulta che l'unico che soddisfa l'ugualianza è 3. Un'uguaglianza di questo tipo di chiama equazione.

Un'uguaglianza tra due espressioni, di cui almeno una letterale, verificata solo per alcuni valori attribuiti alle incognite che compaiono, si dice equazione. 

Data un'equazione possiamo distinguere diversi termini che la compongono. 

Le due espressioni matematiche che vengono uguagliate si dicono rispettivamente primo membro e secondo membro.

\( \begin{matrix} 2 \cdot x + 5 & = & 3 \cdot x - 1 \\ \downarrow & & \downarrow\\ \text{primo membro} & & \text{secondo membro} \end{matrix} \)

Le lettere che compaiono nell'espressione sono le incognite dell'equazione. Nell'equazione precedente, l'incognita è la lettera \( x \). 

I termini che non contengono le incognite si dicono termini noti. 

\( \begin{matrix} 2 \cdot x\; \underline{+ 5} & = & 3 \cdot x \; \underline{- 1} \\ \quad \quad \downarrow & & \quad \quad \downarrow\\ \text{termine noto} & & \text{termine noto} \end{matrix} \)

Si dicono radici o soluzioni di un'equazione i valori delle incognite che la rendono vera. Risolvere un'equazione significa trovare le sue soluzioni, ossia quei numeri che sostituiti alle incognite la trasformano in identità. 

Nell'esempio precedente, 6 è una soluzione dell'equazione, infatti se sostituiamo a \( x \) il numero 6 otteniamo: 

\( 2 \cdot6+5=3 \cdot6-1 \)

cioè 

\( 17 = 17 \)

che è un'identità.