4.2 Risolvere un'equazione

Due equazioni si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. 

Ad esempio le equazioni: 

\( 2 \cdot x+1 = 3 \cdot x -4 \quad \quad \text{e} \quad \quad 4-x=5 \cdot x -26 \)

ammettono come unica soluzione \( x=5 \), infatti sostituendo la \(x \) con il numero \( 5 \) :

\( 2 \cdot 5+1 = 3 \cdot 5 -4 \quad \quad \text{e} \quad \quad 4-5=5 \cdot 5 -26 \)

cioè

\( 11 = 11 \quad \quad \text{e} \quad \quad-1=-1 \)

si ottengono due identità.

Addizionando o sottraendo ai due membri di un'equazione uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente l'incognita si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza.

Esempio

Data l'equazione

\( 2 \cdot x -1 = 4 \cdot x +5 \)

la cui soluzione è \( x=-3 \), infatti 

\( 2 \cdot (-3) -1 = 4 \cdot (-3) +5 \quad \text{ cioè } \quad -7 = -7 \)

possiamo aggiungere ad entrambi i membri il numero \( +1 \) , ottenendo così l'equazione

\( 2 \cdot x -1 +1 = 4 \cdot x +5 +1 \)

Cioè

\( 2 \cdot x = 4 \cdot x +6 \)

che è risolta dalla stessa soluzione \( x=-3 \). 

In pratica in questo esempio abbiamo eliminato il termine -1 dal primo membro e lo abbiamo spostato nel secondo membro, cambiato di segno. Dal primo principio di equivalenza segue la regola pratica (legge del trasporto):

In ogni equazione un termine qualsiasi può essere spostato da un membro all'altro purchè lo si cambi di segno. 

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione uno stesso numero diverso da zero si ottiene un'equazione equivalente a quella di partenza.

Esempio

Data l'equazione

\( 2 \cdot x -4 = 4 \cdot x +6 \)

la cui soluzione è \( x=-5 \), infatti 

\( 2 \cdot (-5) -4 = 4 \cdot (-5) +6 \quad \text{ cioè } \quad -14 = -14 \)

possiamo dividere entrambi i membri per \( +2 \) , ottenendo così l'equazione

\( \frac{2 \cdot x -4}{2} = \frac{4 \cdot x +6}{2} \)

Cioè

\(  x - 2 = 2 \cdot x +3 \)

che è risolta dalla stessa soluzione \( x=-5 \). 

Per risolvere un'equazione si possono utilizzare i principi di equivalenza per trasformarla in un'equazione equivalente nella forma \( x = k \) dove \( k \) è un numero: tale numero è la soluzione dell'equazione. 

Il procedimento che in genere si segue è il seguente

• Se \( a \neq0 \) l'equazione si può risolvere e ammette un'unica soluzione \( x = \frac{b}{a} \). L'equazione si dice determinata.
• Se \( a = 0 \) non si può applicare il secondo principio di equivalenza in quanto non è possibile dividere per zero i due membri dell'equazione. Si possono distinguere due casi: 
• Se \( b \neq0 \) l'equazione, che risulta scritta nella forma \( 0 = b \) è impossibile.
• Se \( b  = 0 \) l'equazione equivale all'identità \( 0 = 0 \), ammette come soluzione qualsiasi numero: si dice indeterminata.

Consideriamo un'equazione di primo grado in un'incognita, ad esempio: 

\( 3x-5 = 7-x \)

Considerando separatamente i due membri, ciascuno di essi può essere descritto come funzione di \( x \), cioè le due espressioni \( 3x-5 \) e \( 7-x \) assumono valori diversi quando si sostituisce un diverso numero alla \(x \). In particolare entrambe possono essere rappresentate graficamente come due rette: 

\( y = 3x-5 \quad \text{e} \quad y = 7-x \)

La soluzione dell'equazione è il valore di \( x \) per cui le due rette si incontrano. 

In questo caso la soluzione dell'equazione è  \( x=3 \) . Quando si sostituisce tale valore nell'equazione si ottiene l'identità  \( 4=4 \), che corrisponde all'ordinata del punto di intersezione delle due rette.

• Un'equazione determinata ammette una e una sola soluzione, e corrisponde ad una coppia di rette incidenti, che si incontrano in un unico punto.

  Ad esempio, l'equazione \( 2x-5=-3x \), che ha soluzione \( x=1 \) può essere rappresentata come la coppia di rette
  \( y = 2x-5 \)
  \( y = -3x+1 \)
  che si intersecano nel punto \( (1,-3) \)
  
  
  
• Un'equazione indeterminata ammette infinite soluzioni (tutti i numeri reali) e corrisponde ad una coppia di rette coincidenti (si incontrano in tutti i loro punti).
  Ad esempio, l'equazione \( 3x-1=3(x+1)-4 \), la cui soluzione è indeterminata, può essere rappresentata come la coppia di rette
  \( y = 3x-1 \)
  \( y = 3(x+1)-4 \)
  che sono coincidenti.
  
  
  
  
• Un'equazione impossibile corrisponde ad una coppia di rette parallele: non si incontrano mai. 
  Ad esempio, l'equazione \( x+1=x+3 \), che è impossibile, può essere rappresentata come la coppia di rette
  \( y = x+1 \)
  \( y = x+3 \)
  che sono parallele.