1.1 Probabilità

Parlando di probabilità vengono in mente i giochi di carte, il lancio di dadi o di monete. Nello specifico il calcolo delle probabilità ha come oggetto di studio gli esperimenti casuali, di cui a priori non si conosce il risultato. Con la proposizione “La probabilità che succeda una certa cosa è..” diamo l’impressione a chi ci ascolta che esista una ed una sola definizione di probabilità mentre non è così. Quando il Calcolo delle Probabilità cominciò a svilupparsi le opinioni degli studiosi cominciarono a divergere e si vennero a creare concezioni diverse di probabilità, come ad esempio la concezione classica, frequentista o soggettivista.

Prima di vedere le varie concezioni di probabilità è necessario dare la definizione di evento. Con il termine evento si intende un qualsiasi fatto o avvenimento che può essere osservato e descritto da un enunciato, come ad esempio “È uscito il 3 nel lancio di un dato”. È importante evitare ogni ambiguità nella definizione di un evento, ovvero è necessario che sia possibile una sola delle conclusioni: l'evento si è verificato, cioè l'enunciato è vero, l'evento non si è verificato, cioè l'enunciato è falso. Si possono avere eventi certi, impossibili o casuali (aleatori).

Il calcolo delle probabilità si occupa di studiare gli eventi aleatori, infatti nell’ambito di questi si possono distinguere eventi che hanno maggiori possibilità di verificarsi rispetto ad altri. Associamo allora ad ogni evento un numero reale, che è tanto maggiore quanto più è elevata la possibilità che si verifichi l’evento stesso, e chiamiamo tale numero probabilità dell’evento (che come vedremo sarà compreso tra 0 e 1).

Esempio: Se una scatola contiene palline bianche e nere, l’estrazione di una pallina nera è un evento possibile ma non certo, cosi come l’estrazione di una pallina bianca. In altre parole, non possiamo prevedere il colore della pallina estratta, perché l’estrazione è casuale, inoltre se nella scatola ho più palline nere che palline bianche avremo più possibilità di estrarne una nera.

Operazioni con gli eventi

Dal momento che gli eventi sono insiemi, si possono utilizzare le operazioni tra insiemi anche tra gli eventi.

Dati due eventi \(E_1\) ed \(E_2\) avremo:

• l’unione di due eventi \( (E_1 \cup E_2) \) che rappresenta l’evento “si verifica \(E_1\) oppure si verifica \(E_2\)” o, in altre parole, si verifica almeno uno dei due eventi;

• l’intersezione dei due eventi \( (E_1 ∩ E_2) \) che rappresenta l’evento “si verifica contemporaneamente \(E_1\) ed \(E_2\)” ossia si verificano entrambi gli eventi. Quando l’intersezione di due eventi è l’insieme vuoto i due eventi si dicono incompatibili o mutuamente esclusivi ed è impossibile che si verifichino contemporaneamente.

• la differenza tra due eventi \((E_1 – E_2)\) che rappresenta l’evento “si verifica \(E_1\) ma non \(E_2\)”;

• il complementare di un evento (\( \overline{E1} \)) che rappresenta l’evento “non si realizza \(E_1\)”.

Esempio

Un esempio di esperimento di cui non si conosce a priori il risultato è il lancio di un dado.

Lo spazio campionario di tutti i possibili risultati è rappresentato dall’insieme \({1, 2, 3, 4, 5, 6}\).

Un evento \(E_1\) può essere “esce un numero pari”, rappresentato dall’insieme \({2, 4, 6}\).

Un altro evento \(E_2\) può essere “esce un numero maggiore di \(4\)”, rappresentato dall’insieme \({5, 6}\).

L’intersezione dei due eventi è l’evento “esce un numero pari maggiore di \(4\)”: \( E_1 ∩ E_2 = {6} \).

Il complementare dell’evento \(E_1\) è “esce un numero dispari”, mentre il complementare dell’evento \(E_2\) è “esce un numero minore o uguale a \(4\)”.

La concezione classica è la più adatta ad un primo approccio alla probabilità. Essa dà luogo a una probabilità "a priori" cioè prima che l'evento si verifichi. Definiamo la probabilità di un evento come il rapporto fra il numero degli esiti favorevoli, che fanno sì che l’evento si verifichi, e il numero degli esiti possibili.
Indichiamo la probabilità \(p\) di un evento \(E\) con i simboli:

\(p(E) = \dfrac{n°  esiti  favorevoli}{n°  esiti   possibili}\)

Il numero di esiti favorevoli corrisponde al numero di elementi dell’insieme che rappresenta l’evento \(E\); mentre il numero di esiti possibili corrisponde al numero di elementi dello spazio campionario.

La condizione che deve essere verificata è che tutti gli esiti siano ugualmente possibili, ossia che nessun esito possa verificarsi più facilmente di un altro.

Alcune osservazioni

• Se \(E\) è un evento certo allora \(p(E) = 1\): l’evento certo infatti corrisponde allo spazio campionario.
  

• Se \(E\) è un evento impossibile allora \(p(E) = 0\): l’evento impossibile infatti corrisponde all’insieme vuoto.

In ogni altro caso la probabilità di un evento \(E\) è un valore compreso tra \(0\) ed \(1\).

In generale quindi vale:

\(0 ≤ p(E) ≤ 1\)

A volte la probabilità si esprime in forma percentuale (ottenuta moltiplicando per \(100\)); il suo valore sarà quindi compreso sempre tra \(0\) e \(100\).

La definizione classica di probabilità non è l’unica esistente. Ad esempio altre concezioni di probabilità sono:

• La concezione frequentista: secondo la quale la probabilità è la frequenza relativa (quando il numero delle prove è sufficientemente alto).
  Esempio: sappiamo che in un’urna ci sono 100 palline di forma uguale, e alcune di esse (non si quante) sono bianche. Estraiamo una pallina, che può essere bianca o meno, la rimbussoliamo e rimescoliamo il tutto, e così via per 1000 volte. Se supponiamo di aver estratto 703 palline bianche diremo che la frequenza relativa, e quindi la probabilità di estrarre una pallina bianca, è 703/1000 (70.3%).
  Con questa concezione abbiamo una probabilità a posteriori.
  

• La concezione soggettivista: secondo la quale la probabilità è definita come la misura del grado di fiducia che un soggetto attribuisce all’avverarsi di un evento. Essa si può esprimere in termini di scommessa: sono disposto a pagare 3 euro di scommessa sulla Juventus vincente se riceverò 10 euro in caso di una sua vittoria, mentre se la Juventus perde non riceverò nulla. Allora vuol dire che do la Juventus vincente con una probabilità del 30% (3/10).
  

Esiste inoltre una teoria assiomatica che fonda il calcolo della probabilità si un sistema di assiomi, che qui non presentiamo nel dettaglio.

Esempio

Riprendiamo l’esempio del lancio di un dado.

Dire qual è la probabilità che:

Ricordiamo che:

1) La probabilità di \(E_1\) è:

\( p(E_1) = \dfrac{n° esiti favorevoli}{n° esiti   possibili} = \dfrac{3}{6} = 0,5 \)

2) La probabilità di \(E_2\) è:

\( p(E_2) = \dfrac{n° esiti favorevoli}{n° esiti   possibili} = \dfrac{2}{6} \simeq 0,33 \)

Presentiamo alcuni teoremi utili per il calcolo della probabilità; anche in presenza di eventi complessi, ovvero composti da più eventi semplici di cui si conosce la probabilità. Ricordiamo che due eventi si dicono incompatibili quando non possono verificarsi simultaneamente in una data prova e per i quali si ha \( (E_1 ∩ E_2) = Ø \) .

• Se gli eventi non sono incompatibili, ovvero hanno intersezione non vuota, allora la probabilità della loro unione è la somma delle loro probabilità meno la probabilità della loro intersezione:

\( p(E_1 \cup E_2) = p(E_1) + p(E_2) – p(E_1 ∩ E_2) \)

• La probabilità dell’unione di due o più eventi incompatibili è semplicemente la somma delle loro probabilità:

\(p(E_1 \cup E_2) = p(E_1) + p(E_2)\)          

• La probabilità del complementare di un evento vale uno meno la probabilità dell’evento stesso:
  

\(p( \overline{E} ) = 1 – p(E)\)

Ricordiamo inoltre che due eventi si si dicono complementari quando uno è la negazione dell'altro. Può sembrare una banalità ma può capitare di commettere qualche errore. Ad esempio, se si chiede il contrario di "Vincere sempre" si può avere come risposta "Non vincere mai", mentre la riposta corretta è "Perdere almeno una volta".

• La probabilità condizionata

• L’indipendenza tra eventi

• La probabilità composta

PRIMO ESEMPIO

Un’urna contiene 20 palline, di cui 12 bianche e 8 nere.

Si estraggono due palline, senza reinserire nell’urna la prima estratta.

Qual è la probabilità che siano dello stesso colore?

Si tratta di calcolare la probabilità dell’unione di due eventi incompatibili:

Partiamo dall’evento \(E_1\) “le due palline estratte sono entrambe bianche”. Questo significa che la prima pallina estratta è bianca e che la seconda pallina estratta è bianca. Notiamo la congiunzione “e” che ci suggerisce una intersezione tra i due eventi:

Nel nostro caso i due eventi sono dipendenti in quanto l’estrazione della seconda pallina dipende dalla prima estratta e non reinserita nell’urna e quindi vale:

\(p(E_{11})\) e \(p(E_{12}|E_{11})\) sono stati calcolati come rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero di esiti possibili:

• per \(E_{11}\) si hanno \(12\) esiti favorevoli e \(20\) possibili quindi \(p(E_{11}) = \dfrac{12}{20}\)

• per \(E_{12}|E_{11}\) si hanno \(11\) esiti favorevoli e \(19\) possibili quindi \(p(E_{12}|E_{11}) = \dfrac{11}{19} \)

Passiamo all’evento \(E_2\) “le due palline estratte sono entrambe nere”. Si applica lo stesso ragionamento trovando:

\(p(E_2) = 0,15 = 15 \% \)

Lasciamo al lettore la possibilità di sviluppare i passaggi nel dettaglio.

Per rispondere alla domanda iniziale, si calcola la probabilità dell’unione dei due eventi \(E_1\) ed \(E_2\) che abbiamo detto essere incompatibili:

\( p(E_1 \cup E_2) = p(E_1) + p(E_2) = 0,35 + 0,15 = 0,50 = 50 \%\)

In conclusione la probabilità che le due palline estratte dall’urna siano dello stesso colore è del \(50 \% \).

SECONDO ESEMPIO

Determinare la probabilità matematica che una coppia abbia tre figlie femmine

Utilizziamo, ad esempio, un diagramma ad albero per rappresentare i casi possibili in modo da avere un'elencazione grafica di tutti gli elementi dello spazio campione (indichiamo con 1F= primo figlio, 2F=secondo figlio, 3F=terzo figlio). 

Se scriviamo su ciascun ramo la probabilità dell'evento rappresentato nel nodo seguente, avremo che la probabilità di uno qualsiasi degli eventi sui rami terminali è data dal prodotto delle probabilità scritte sull'intero percorso (questa regola è detta regola del prodotto).
Poichè la probabilità che nasca un figlio maschio o che nasca un figlio femmina è in entrambi i casi uguale a \(\dfrac{1}{2}\), avremo che:

\( p(3F) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8} \)