1.1 Le equazioni di secondo grado

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Course: Classe Seconda - ALA - Liceo Scientifico Scienze Applicate
Book: 1.1 Le equazioni di secondo grado
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Date: Friday, 19 April 2024, 8:58 AM

Description

Ripasso sulle equazioni di secondo grado

1.1 Equazioni incomplete: la legge di annullamento del prodotto

La legge di annullamento del prodotto afferma che: 

se due numeri reali danno prodotto zero allora almeno uno dei due fattori è zero, cioè 

se ab=0 allora a=0 oppure b=0.


Esempio.

Per risolvere l'equazione (x-1)(x+1)(x-3)=0 applichiamo la legge di annullamento del prodotto e otteniamo

x-1=0 --> x=1

x+1=0 --> x=-1

x-3=0 --> x=3

quindi le soluzioni saranno x=1 oppure x=-1 oppure x=3.

1.2 Equazioni complete: la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado

Un'equazione algebrica si dice di secondo grado quando, una volta ridotta in forma normale, il massimo grado dei monomi che la compongono è 2 (ovvero quando è formata da un polinomio di grado 2); se l'equazione è in un'unica incognita x, basterà quindi guardare l'esponente più grande a cui la x è elevata: se è 2 allora si dirà che l'equazione è di secondo grado in una incognita.

Un’equazione algebrica di 2° grado con una incognita è sempre riconducibile alla seguente forma:

     ax2 + bx + c = 0           con a ≠ 0

dove a, b, c sono numeri reali determinati; c è detto temine noto.

Essendo di 2° grado l’equazione può avere al massimo 2 soluzioni, indicate con x1 e x2.

Per determinare le soluzioni di un’equazione di 2° grado con una incognita si applica la seguente formula risolutiva:

x1,2 = \( \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \)

Le due soluzioni saranno quindi

x= \( \frac{ -b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

x= \( \frac{ -b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)


L’espressione sotto il simbolo di radice prende il nome di discriminante e si indica con Δ,  Δ=b2-4ac.


Nota: la formula risolutiva presentata è la più generale, che si applica anche a casi particolari in cui alcuni coefficienti sono nulli oppure in cui si potrebbe applicare la cosiddetta 'formula ridotta'. Per completezza si riporta anche la formula ridotta, che è utile per semplificare il procedimento risolutivo quando il coefficiente del termine di primo grado è divisibile per due. 

Formula ridotta (quando b è pari)

x1,2 = \( \frac{ \frac{-b}{2} \pm \sqrt{({\frac{b}{2})}^2 - ac}}{a}\ \) 


1.2.1 Il significato del discriminante

Le soluzioni di un'equazione di secondo grado saranno quindi

x= \( \frac{ -b - \sqrt{\Delta}}{2a}\ \)

x\( \frac{ -b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)


In base al segno del Δ si distinguono 3 casi:

  •  Δ > 0  →  le due soluzioni x1 e x2 sono reali e distinte
  •  Δ = 0  →  le due soluzioni x1 e x2 sono reali coincidenti (ossia vi è una sola radice x1=x2)
  •  Δ < 0  →  non si hanno soluzioni reali, perché compare un valore negativo sotto il simbolo di radice (le soluzioni sono complesse)

1.2.2 Giustificazione della formula risolutiva

Per giustificare la formula risolutiva presentata si può utilizzare il metodo del completamento dei quadrati:

si parte dall’equazione \( ax^2 +bx + c = 0 \)

si dividono ambo i membri per \( a \)  →  \( x^2 + \frac{bx}{a}\ + \frac{c}{a}\ = 0 \)

si sottrae il termine \( \frac{c}{a}\ \) da ambo i membri  →  \( x^2 + \frac{bx}{a}\ = -\frac{c}{a}\ \)

si considera il coefficiente di \( x \), ossia \( \frac{b}{a}\ \), lo si dimezza e si fa il quadrato  →  \( \frac{b^2}{4a^2}\ \)

si somma questo temine a entrambi i membri dell’equazione  →  \( x^2 + \frac{bx}{a}\ + \frac{b^2}{4a^2}\ = \frac{b^2}{4a^2}\ - \frac{c}{a}\ \)

si riconosce lo sviluppo di un binomio a primo membro e si svolgono i conti a secondo membro  →  \( (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \)

si considera la radice quadrata di ambo i membri  →  \( x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ \) 

si ottiene la formula risolutiva  →  x = \( \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \)


1.4 Esempi di risoluzione

  • Risolvere  l’equazione \( 6x (x + 3) - (2x + 1)^2 - 15x - 2 = 0 \) 

Per prima cosa si svolgono i conti per ricondursi alla forma \(ax^2+bx+c=0\):

\( 6x^2 + 18x - 4x^2 - 4x - 1 - 15x - 2 = 0 \)

\( 2x^2-x-3=0 \)

A questo punto si applica la formula risolutiva:

in questo caso \( a=2, b=-1, c=-3 \) quindi

\( x_{1,2}= \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ = \frac{ 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot2 \cdot(-3)}}{2 \cdot2}\ \ = \frac{ 1 \pm \sqrt{25}}{4}\ \ \)

Essendo il discriminante positivo, si hanno 2 soluzioni reali distinte:

\( x_1 = \frac{1-5}{4}\ \ = -1 \)

\( x_2 = \frac{1+5}{4}\ = \frac{3}{2}\ \ \)


  • Risolvere l’equazione \( (x-1)^2+x(\frac{5}{2}\ + 1) + \frac{1}{3}\ =0 \)

Si svolgono i conti per ricondursi alla forma \(ax^2+bx+c=0\):

\( x^2 - 2x + 1 + \frac{7}{2}x + \frac{1}{3} = 0 \)

\( \ \frac{6x^2 - 12x +6 + 21x + 2}{6}\ \ = 0\) 

\( 6x^2+9x+8 = 0 \)

Si osserva che il determinante è negativo:

\( \Delta = 81 -192 = -111 \)

Di conseguenza non ci sono soluzioni reali.