2.1 Le funzioni quadratiche

Il grafico di una funzione quadratica è una curva chiamata parabola: non tutte le parabole, però, sono grafici di funzioni quadratiche, solo quelle con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate.

La parabola è una particolare figura piana; si tratta di una particolare sezione conica, come l'ellisse e l'iperbole.

Può essere definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta assegnata d (detta direttrice) e da un punto fisso F non appartenente alla direttrice (detto fuoco).

L’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate è: y = ax² + bx + c ;

mentre con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse è: x = ay² + by + c .

Ciascuno dei coefficienti di questa equazione ha un ruolo particolare; consideriamo il caso di parabola di equazione y=ax²+bx+c:

• il coefficiente a determina l'"apertura" della parabola ed è spesso chiamato concavità della parabola:
  a>0: concavità verso l'alto
  a<0: concavità verso il basso
  a=0: la parabola degenera in una retta
  Inoltre, quanto più il valore assoluto di a è grande, tanto più la parabola ha una concavità accentuata (è più "stretta").
  
  
• Il coefficiente b determina la pendenza con cui la parabola interseca l'asse delle ordinate.
  b è legato alla posizione dell'asse della parabola (la retta verticale passante per il vertice), che ha equazione x=\( \frac{-b}{2a} \).
  In particolare, se b vale zero il vertice della parabola appartiene all'asse y e quindi l'asse della parabola coincide con l'asse delle ordinate.
  
  
• Il coefficiente c determina il punto di intersezione della parabola con l'asse delle ordinate.
  Cioè il punto di intersezione tra la parabola (y=ax²+bx+c) e l'asse delle y (x=0) avrà coordinate (0,c).
  Se il termine c è nullo, la parabola passa per l'origine degli assi.

Se consideriamo una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate questa avrà equazione: y=ax²+bx+c.

Chiamiamo ∆ = b² − 4ac .

La parabola avrà quindi il vertice nel punto V( \( \frac{-b}{2a} \), \( \frac{-∆}{4a} \)),

l’asse di simmetria s di equazione x = \( \frac{-b}{2a} \),

il fuoco nel punto F( \( \frac{-b}{2a} \) , \( \frac{1-∆}{4a} \)) 

e la direttrice d (parallela all’asse delle ascisse) di equazione y = \( \frac{-(1+∆)}{4a} \).

Per disegnare il grafico di una parabola è teoreticamente sufficiente conoscere le coordinate di tre suoi punti non allineati; per tre punti infatti passa una sola parabola con asse parallelo all'asse y.
A livello pratico, il modo migliore per disegnare una parabola è:

• iniziare tracciando il vertice;
• dopodichè trovare il punto in cui la parabola interseca l'asse delle ordinate (mettendo a sistema l'equazione della parabola con x=0 si troverà facilmente che il punto in questione avrà ordinata uguale a c); 
• infine il terzo punto si trova sfruttando il fatto che la parabola è simmetrica rispetto al suo asse (la cui equazione è data dall'ascissa del suo vertice).

Esercizio 1.

È data la parabola di equazione y=x²-6x+8 .

1. Determina le coordinate del suo vertice e del suo fuoco;
2. determina l'equazione del suo asse di simmetria e della direttrice.

Risoluzione.

Prima di iniziare è utile calcolare il valore di ∆=b²-4ac=(-6)²-4(1)(8)=36-32=4 .

1. Come visto in teoria le coordinate del vertice sono date da V( \( \frac{-b}{2a} \), \( \frac{-∆}{4a} \))=( \( \frac{6}{2} \), \( \frac{-4}{4} \))=(3,-1).
   
   Le coordinate del fuoco sono date da F( \( \frac{-b}{2a} \) , \( \frac{1-∆}{4a} \))=( \( \frac{6}{2} \) , \( \frac{1-4}{4} \))=(3,\( \frac{-3}{4} \)).
   
   
2. L'equazione dell'asse di simmetria s è data da x = \( \frac{-b}{2a} \), x = \( \frac{6}{2} \) quindi s: x=3.
   
   L'equazione della direttrice d è data da y = \( \frac{-(1+∆)}{4a} \), y = \( \frac{-(1+4)}{4} \) quindi d: y= \( \frac{-5}{4} \).

Esercizio 2.

Disegna il grafico della parabola y=2x²+5x-1 .

Risoluzione.

Prima di iniziare calcoliamo ∆=b²-4ac=(5)²-4(2)(-1)=25+8=33 .

• Tracciamo ora il vertice V( \( \frac{-b}{2a} \), \( \frac{-∆}{4a} \))=( \( \frac{-5}{4} \), \( \frac{-33}{8} \));
• dopodichè troviamo il punto C in cui la parabola interseca l'asse delle ordinate: mettendo a sistema y=2x²+5x-1 con x=0 trovo y=0²+0-1 quindi il punto avrà coordinate C(0,-1); 
• infine il terzo punto si trova sfruttando il fatto che la parabola è simmetrica rispetto al suo asse (la cui equazione è data dall'ascissa del suo vertice, cioè s: x=\( \frac{-5}{4} \)).
  Poichè C è punto sull'asse delle y, la sua distanza dall'asse di simmetria è uguale al valore assoluto dell'ascissa del vertice; per simmetria, anche C' ha distanza dall'asse della parabola uguale al valore assoluto dell'ascissa del vertice: la sua ascissa è quindi il doppio di quella del vertice, cioè x_C'=2x_V=2(\( \frac{-5}{4} \))=\( \frac{-5}{2} \).
  L'ordinata di C' invece è uguale all'ordinata di C, cioè y_C'=-1.
  C'(\( \frac{-5}{2} \),-1) .
  
• Disegnati i punti V, C e C' sarà facile tracciare la parabola con asse parallelo all'asse delle y passante per questi tre punti.

Esercizio 3.

Verifica se i punti R(2,15) e Q(-1,-6) appartengono o meno alla parabola p di equazione y=3x²+4x-5.

Risoluzione.

Un punto appartiene ad una parabola quando, sostituendo le coordinate del punto nell'equazione della parabola, otteniamo un'uguaglianza vera.

Consideriamo il punto R(2,15) e controlliamo se  y_R=3x_R²+4x_R-5 quindi 

15=3(2)²+4(2)-5

15=27+8-5

15=27+3

15≠29
Questa non è un'uguaglianza vera per cui deduco che R non appartiene alla parabola p.

Consideriamo il punto Q(-1,-6) e controlliamo se  y_Q=3x_Q²+4x_Q-5 quindi 

-6=3(-1)²+4(-1)-5

-6=3-4-5

-6=3-9

-6=-6

Questa è un'uguaglianza vera per cui deduco che Q appartiene alla parabola p.