3.1 Gli zeri di una funzione quadratica

Ad ogni equazione di II grado ax²+bx+c=0 possiamo associare una parabola corrispondente y=ax²+bx+c.

NB. In tutti i discorsi che seguono considereremo sempre a≠0 altrimenti si tratterebbe di un'equazione di primo grado.

Risolvere un'equazione significa trovarne le soluzioni, ovvero quei valori che sostituiti alle corrispondenti incognite rendono vera l'uguaglianza.
Geometricamente, risolvere un'equazione di secondo grado in un'incognita (ax²+bx+c=0) equivale a determinare gli zeri della parabola associata.

Gli zeri di una parabola sono quei valori che, sostituiti a x nella funzione della parabola (y=ax²+bx+c=0) rendono y uguale a 0; ovvero sono quei punti in cui la parabola interseca l'asse delle ascisse.
L'equazione di questo è y=0, per cui per calcolarli basta costruire un sistema tra l'equazione della parabola y=ax²+bx+c e y=0.

Da questo risulta ax²+bx+c=0.

• In generale, se a≠0, b≠0 e c≠0  si dice che l'equazione è in forma completa e le soluzioni si calcolano con la formula di risoluzione vista precedentemente:
  x₁=\( \frac{-b- \sqrt{ {b}^{2} -4ac} }{2a} \) e  x₂=\( \frac{-b+ \sqrt{ {b}^{2} -4ac} }{2a} \) .
  Inoltre se consideriamo Δ=b²-4ac:
  •  se Δ > 0  →  le due soluzioni x₁ e x₂ sono reali e distinte, per cui la mia parabola intersecherà l'asse delle ascisse in due punti distinti;
  •  se Δ = 0  →  le due soluzioni x₁ e x₂ sono reali coincidenti; la parabola intersecherà l'asse delle ascisse in un unico punto;
  •  se Δ < 0  →  non si hanno soluzioni reali; la parabola non ha intersezioni con l'asse delle ascisse.

  
  Quando uno dei parametri b o c è uguale a zero si dice che l'equazione è in forma incompleta. In questo caso non è conveniente (anche se sempre possibile) applicare la formula risolutiva. Esistono infatti altri procedimenti particolarmente rapidi, applicabili in questi casi.
  

• Se a≠0, c≠0 ma b=0 :
  la nostra parabola sarà simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (cioè il vertice si troverà sull'asse delle y) e la sua equazione sarà del tipo: ax²+c=0.
  Per risolverla isoliamo la x²: x²=\( \frac{-c}{a} \)
  Se \( \frac{-c}{a} \)≥0 allora otterremo le due soluzioni: x₁=\( -\sqrt{ \frac{-c}{a} } \) e x₂= \(+\sqrt{ \frac{-c}{a} }\) . 
  Questo tipo di equazione incompleta ha sempre soluzioni una opposta all'altra nel caso \( \frac{-c}{a} \)≥0; se invece \( \frac{-c}{a} \)<0 allora non esiste una soluzione accettabile (dato che stiamo lavorando con numeri reali e in questo campo è impossibile calcolare la radice di un numero negativo).
  
  
• Se a≠0, b≠0 ma c=0 :
  la nostra parabola passerà per l'origine e la sua equazione sarà del tipo: ax²+bx=0.
  Per risolverla prima raccogliamo la x: x(ax+b)=0
  quindi utilizziamo la regola dell'annullamento del prodotto e otteniamo: x=0 e ax+b=0
  Le due soluzioni saranno quindi x₁=0 e x₂=\( \frac{-b}{a} \).
  Questo tipo di equazione incompleta ha sempre soluzioni reali, di cui una sarà sempre 0.
  
  
• Se a≠0 ma b=c=0 :
  la nostra parabola avrà il vertice nell'origine e la sua equazione sarà del tipo: ax²=0.
  Le sue soluzioni saranno quindi x₁=x₂=0.

 Esempio 1.

Trova gli zeri della parabola y=4x²-5x+1.

Risoluzione.

Gli zeri di una parabola sono quei punti in cui interseca l'asse delle ascisse. 

L'equazione di questo è y=0, per cui per calcolarli basta costruire un sistema tra l'equazione della parabola y=4x²-5x+1 e y=0.

Da questo risulta 4x²-5x+1=0.

Calcoliamo il discriminante Δ=b²-4ac=(-5)²-4(4)(1)=25-16=9. Dato che Δ=9>0 ci aspettiamo di trovare due soluzioni distinte x₁ e x₂:

x₁=\( \frac{-b- \sqrt{ {b}^{2} -4ac} }{2a} \)=\( \frac{5- \sqrt{ 9} }{8} \)=\( \frac{5-3}{8} \)=\( \frac{2}{8} \)=\( \frac{1}{4} \) e

x₂=\( \frac{-b+ \sqrt{ {b}^{2} -4ac} }{2a} \)=\( \frac{5+ \sqrt{ 9} }{8} \)=\( \frac{5+3}{8} \)=\( \frac{8}{8} \)=1 

cioè la parabola interseca l'asse delle ascisse in P₁(x₁,0)=(\( \frac{1}{4} \) ,0) e P₂(x₂,0)=(1,0).

Esempio 2.

Risolvi l'equazione 2x²-5=0.

Risoluzione.

In questo caso abbiamo b=0 quindi la nostra parabola sarà simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (cioè il vertice si troverà sull'asse delle y).

Per risolverla isoliamo la x²: x²=\( \frac{5}{2} \)

Dato che \( \frac{5}{2} \)≥0 allora otterremo le due soluzioni: 

x₁=\( -\sqrt{ \frac{5}{2} } \) e 

x₂= \(+\sqrt{ \frac{5}{2} }\) . 

Esempio 3.

Risolvi l'equazione 3x²-2x=0.

Risoluzione.

In questo caso abbiamo c=0 quindi la nostra parabola passerà per l'origine.

Per risolverla prima raccogliamo la x: x(3x-2)=0

quindi utilizziamo la regola dell'annullamento del prodotto e otteniamo: x=0 e 3x-2=0

Le due soluzioni saranno quindi x₁=0 e x₂=\( \frac{2}{3} \).