Calcolo dei limiti

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Course: Classe Quarta - 4AL4 - Liceo Internazionale Scienze Applicate 4 anni
Book: Calcolo dei limiti
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Date: Wednesday, 4 December 2024, 11:11 PM

1. Proprietà dei limiti

Teorema (unicità del limite)

Una funzione \( y=f(x) \) non può avere due limiti diversi per \( x \) tendente ad \( a \), ovvero se esiste il \( \displaystyle \lim_{x \to a}{f(x)}=l \) tale limite è unico (dove i simboli \( l \) ed \( a \) possono indicare sia un numero reale sia \( \infty \)).


Teorema (permanenza del segno)

Se una funzione ha limite non nullo per \( x \) tendente ad \( a \), allora in un intorno di \( a \) la funzione ha lo stesso segno del limite.


Teorema (del confronto)

In un intorno di \( a \), al più escluso \( a \), sono definite le funzioni \( h(x) \), \( g(x) \)\( f(x) \) e vale \( h ( x ) \leq   f ( x )   \leq g ( x ) \).

Si ha che se  \( h ( x ) \) e \( g ( x ) \)  tendono ad un limite finito \( l \) per \( x \) tendente a \( a \) allora anche \( \displaystyle \lim_{x \to a}{f(x)}=l \).


Operazioni con limiti finiti

Se esistono, finiti, i limiti 

\( \displaystyle \lim_{x \to a}{f(x)}=l \)   e   \( \displaystyle \lim_{x \to a}{g(x)}=m \)

con \( l, m \in \mathbb{R} \), allora:

    • \( \displaystyle \lim_{x \to a}{\left (f(x) \pm g(x) \right )}=l \pm m\)

    • \( \displaystyle \lim_{x \to a}{-f(x)}=-l \)

    • \( \displaystyle \lim_{x \to a}{\left (f(x) \cdot g(x) \right )}=l \cdot m\)

    • \( \displaystyle \lim_{x \to a}{\left (\frac{f(x)}{g(x)} \right )}=\frac{l}{m} \)

    • \( \displaystyle \lim_{x \to a}{(k \cdot f(x))}=k \cdot l \)   con   \( k \in \mathbb{R} \)

1.1. Operazioni con limiti infiniti e forme indeterminate

Operazioni con limiti infiniti

    • Se esiste il \( \displaystyle \lim_{x \to a}{f(x)}=\infty \), allora esiste il  \( \displaystyle \lim_{x \to a}{\dfrac{1}{f(x)}}=0\).

NOTA BENE: Si dice che \( y=f(x) \) è un infinito per \( x \) tendente ad \( a \), se il suo limite è \( \infty \), si dice invece che è un infinitesimo per \( x \) tendente ad \( a \) se il suo limite è \( 0 \). Quindi:

\( f \) infinito \( \Rightarrow \)  \( \dfrac{1}{f(x)} \) infinitesimo 


    • Se \( y=f(x) \) e \( y=g(x) \) tendono entrambe a \( +\infty \)\( -\infty \), per \( x \) tendente ad  \( a \), anche la funzione \( y=f(x)+g(x) \) tende rispettivamente a \( +\infty \)\( -\infty \).

NOTA BENE: Il teorema non dice nulla nel caso in cui le due funzioni tendano ad infinito ma con segno diverso: in questo caso si ottiene un situazione indeterminata.

Per le operazioni con limiti infiniti si ottengono le seguenti forme indeterminate:

\( \infty - \infty \)         \( 0 \cdot \infty \)       \( \dfrac{0}{0} \)        \( \dfrac{\infty}{\infty} \) 


Ottenere una forma indeterminata non significa che il limite non esiste, ma solo che il limite non è determinabile con le regole operative stabilite dai teoremi.


Esempio. Determinare:

 \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{x^3+2x^2-3}{4x^3-x+1}=\infty \)

Sostituendo il valore \( \infty \) alla variabile \( x \) otteniamo la forma indeterminata \( \dfrac{\infty}{\infty} \).

Allora riscriviamo la funzione ponendo in evidenza \( x^3 \) al numeratore e al denominatore 

e semplificando:

\( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{x^3 \left (1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^3} \right )}{x^3 \left (4-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3} \right )}=\dfrac{1}{4} \)

Infatti quando \( x \) tende ad infinito, i termini che contengono una potenza di \( x \) al denominatore tendono a zero.

Graficamente questo risultato significa che la funzione ha un asintoto orizzontale di equazione \( y=\dfrac{1}{4} \).


1.2. Infinitesimi e infiniti

Può capitare di dover calcolare un limite che presenta la forma indeterminata \( \dfrac{0}{0} \), senza che sia possibile semplificare la funzione fratta. Si può allora giungere ad un risultato confrontando gli infinitesimi, cioè controllando quale fra la funzione che sta al numeratore e la funzione che sta al denominatore tende a zero più rapidamente.

Per questo scopo può aiutare il confronto fra grafici:


Se consideriamo il comportamento nell'intorno di zero delle funzioni disegnate vediamo che l'ordine con cui si avvicinano più velocemente allo zero è: 

  • cubica
  • parabola 
  • bisettrice
  • radice

Ciò significa che dalla cubica alla radice l'ordine di infinitesimo decresce. Di seguito alcuni esempi di limiti, che coinvolgono queste funzioni, la cui forma indeterminata è \( \dfrac{0}{0} \):

 \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+}{\dfrac{\sqrt{x}}{x^2}}=\infty \);     \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+}{\dfrac{x^3}{\sqrt{x}}}=0 \);     \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+}{\dfrac{x^3}{x^2}}=0 \)


Allo stesso modo può capitare di dover calcolare un limite che presenta la forma indeterminata \( \dfrac{\infty}{\infty} \), senza che sia possibile semplificare la funzione fratta. Si può allora giungere ad un risultato confrontando gli infiniti, cioè controllando quale fra la funzione che sta al numeratore e la funzione che sta al denominatore tende a infinito più rapidamente.

Per questo scopo può aiutare il confronto fra grafici:


Se consideriamo il comportamento nell'intorno di \( +\infty \) delle funzioni disegnate vediamo che l'ordine con cui si avvicinano più velocemente a \( +\infty \) è: 

  • esponenziale
  • parabola
  • bisettrice
  • radice
  • logaritmo 

Ciò significa che dall'esponenziale al logaritmo l'ordine di infinito decresce. Di seguito alcuni esempi di limiti, che coinvolgono queste funzioni, la cui forma indeterminata è \( \dfrac{\infty}{\infty} \):

\( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{\dfrac{e^x}{\sqrt{x}}}=\infty \);     \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{\dfrac{\ln{x}}{x}}=0 \);     \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{\dfrac{x^2}{\ln{x}}}=\infty \);     

1.3. Calcolo dei limiti

Poiché normalmente anche le funzioni più complesse sono il risultato della composizione di funzioni elementari, è indispensabile conoscere bene il valore dei limiti delle funzioni elementari agli estremi del loro dominio:

  • funzione identità: \( f(x)=x \)
     \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=-\infty \);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

  • funzione potenza con esponente pari: \( f(x)=x^n \) con \( n \) pari
     \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=+\infty\);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

  • funzione potenza con esponente dispari: \( f(x)=x^n \) con \( n \) dispari
     \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=-\infty\);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

  • funzione esponenziale con base maggiore di 1: \( f(x)=a^x \) con \( a>1 \)
     \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=0 \);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

  • funzione esponenziale con base minore di 1: \( f(x)=a^x \) con \(0< a<1 \)
     \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=+\infty \);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=0 \)

  • funzione logaritmica con base maggiore di 1: \( f(x)=\log_a{x} \) con \( a>1 \)
     \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+}{f(x)}=-\infty \);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

  • funzione logaritmica con base minore di 1: \( f(x)=\log_a{x} \) con \( 0<a<1 \)
     \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+}{f(x)}=+\infty \);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=-\infty \)

Dato il grafico di una funzione è possibile dedurne i limiti. Ad esempio, data la funzione \( y=\dfrac{3x^3}{x-5} \) e il suo grafico:


possiamo dedurre che:

 \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=+\infty \)

 \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

 \( \displaystyle \lim_{x \to 5^-}{f(x)}=-\infty \)

 \( \displaystyle \lim_{x \to 5^+}{f(x)}=+\infty \)

la retta \(x=5\) è un asintoto verticale.

1.4. Alcuni limiti notevoli

Vi sono alcuni limiti, detti limiti notevoli, che sono molto utili nella risoluzione delle varie forme indeterminate; i principali sono i seguenti:

 

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1 \)

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2} \)

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x}=1 \)

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1 \)

\( \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \bigr(1+\dfrac{1}{x}\Bigl)^x=e \)


Esempio: Calcoliamo \( \displaystyle \lim_{x \to 0}{\dfrac{1-\cos{x}}{\sin{4x}}} \)


Riscriviamo il limite nel seguente modo:

 \( \displaystyle \lim_{x \to 0}{(1-\cos{x}) \cdot \dfrac{1}{\sin{4x}}}=\lim_{x \to 0}{x^2 \cdot \dfrac{1-\cos{x}}{x^2} \cdot \dfrac{1}{4x} \cdot \dfrac{4x}{\sin{4x}}} = 0\)


Dal momento che:


\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x}=1 \) e \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2} \)