Le successioni

I numeri naturali, i numeri pari e dispari, i numeri primi sono esempi di successioni numeriche. Sono insiemi numerici infiniti, numerabili, linearmente ordinati e discreti (è possibile fornire un elenco dei loro elementi, indicando qual è il primo di essi e come si ottiene da un elemento il suo successivo). Ogni elemento o termine della successione è individuato dal posto che occupa nell'ordinamento: \(a_0, a_1, a_2, ..., a_n, ...\).

Una successione è individuata dalla corrispondenza biunivoca, indicata con \( f \), che associa ad ogni elemento di \( \mathbb{N} \) il corrispondente elemento della successione. Per indicare una successione è sufficiente esprimere il suo termine generico \(a_n \).

Esempio. Qual è la successione individuata dalla funzione \( f(n)=2^{-n}\)?

Costruiamo i primi termini della successione:

\(0 \rightarrow 2^0=1\)

\(1 \rightarrow 2^{-1}=\dfrac{1}{2}\)

\(2 \rightarrow 2^{-2}=\dfrac{1}{4}\)

I termini della successione sono:

\(1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, ..., \dfrac{1}{2^n} \)

Se rappresentatiamo graficamente la successione otteniamo:

Si può definire una successione:

1. per definizione del termine generale, dando la legge che associa al numero naturale n il corrispondente elemento \( a_n \) (come nell'esempio precedente)
   
   
2. per ricorrenza, ovvero quando il termine generale è espresso in funzione di uno o più termini precedenti; in tal caso la successione può essere calcolata solo quando sono noti i termini iniziali. Ad esempio, la successione definita dalla relazione: 
   

   \( a_{n+1}=a_n^2+1 \)   con   \( a_0=1 \)

   esprime la successione i cui primi elementi sono: \( 1, 2, 5, 26, ... \).
   Infatti:
   \( a_{2}=a_1^2+1=1+1=2 \)
   \( a_{3}=a_2^2+1=4+1=5 \)
   \( a_{4}=a_3^2+1=25+1=26 \)..
   
   
   
   

Dato che le successioni sono definite da funzioni, è possibile calcolarne il limite per studiarne l'andamento al crescere di \(n \), ovvero \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n \).

Una successione può essere

• convergente: se esiste finito il \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n \).
  Ad esempio, \(a_n=2-\dfrac{1}{n^2} \)
  

  

• divergente: se esiste infinito il \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n \).
  Ad esempio, \(a_n=3n^3 \)
  
  
• irregolare: se il limite non esiste.
  Ad esempio, \(a_n=\sin{\dfrac{n\pi}{2}}\)
  
  

Non bisogna confondere la caratteristica di una successione di essere convergente o divergente con quella di essere crescente o decrescente. Quest'ultime indicano solo che i termini sono via via rispettivamente più grandi (per ogni \(n\), \(a_n>a_{n-1} \)) o più piccoli (per ogni \(n\), \(a_n<a_{n-1}\)), e indicano la possibilità che la successione sia limitata.

NOTA BENE. Una successione può essere crescente senza essere divergente, e una successione decrescente può essere divergente.

Esempio: Determiniamo il carattere della successione \( a_n=1 + \frac{1}{3n} \) attraverso il calcolo del limite:

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{3n} \right)^{2n}=\Bigr[ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{3n} \right)^{3n} \Bigl]^{\frac{2}{3}}=e^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{e^2} \)

si tratta di una successione regolare convergente.

Esempio: Determiniamo il carattere della successione \( \dfrac{n^{6} + \ln{n} + 3^{n}}{2^{n} + n^{4} + \ln^{5}{n}} \):

\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{n^{6} + \ln{n} + 3^{n}}{2^{n} + n^{4} + \ln^{5}{n}}=\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{3^{n}}{2^{n}}=+ \infty \)

Si tratta di una successione regolare divergente.

Due importanti esempi di successioni sono:

• La successione aritmetica è una successione ottenuta a partire da un primo termine \( a_0 \) addizionando ogni volta lo stesso numero, indicato con \(q\), detto ragione della successione.
  Una successione aritmetica è definita dalla formula ricorsiva:
  

  \( a_n=a_0+n \cdot q \)   con  \( a_0, q \in \mathbb{R} \)

  È detta "aritmetica" perché il termine n-esimo è la media aritmetica dei termini (n‒1)-esimo e (n+1)-esimo.
  
  Esempio: la successione dei numeri dispari è una successione aritmetica di ragione 2.
  
  
• La successione geometrica è una successione ottenuta a partire da un primo termine \( a_0 \) moltiplicando ogni volta per il numero stesso, indicato con \(q\), detto ragione della successione. 
  Una successione geometrica è definita dalla formula ricorsiva:
  

  \( a_n=a_0 \cdot q^{n} \)   con  \( a_0, q \in \mathbb{R} \)

  È detta "geometrica" perché per \( q > 0 \) e \( a_0 > 0 \) il termine n-esimo è la media geometrica dei termini (n‒1)-esimo e (n+1)-esimo.
  
  Esempio: le potenze di 3 sono una successione geometrica di ragione 3.