1.1 Monomi

Un monomio è un'espressione algebrica costituita da un numero finito di moltiplicazioni di variabili e costanti reali. 

Nel monomio distinguiamo coefficiente numerico e parte letterale.

Esempi:\( -5 x y^2 , 6 a b, \sqrt{15} x^3 z^3  \).

I coefficienti numerici dei monomi dati sono -5, 6, \( \sqrt{15} \); le parti letterali sono \(x y^2\) ,\( a b\), \( x^3 z^3\).   

Due monomi si dicono simili se hanno parti letterali identiche e coefficienti numerici diversi.

Esempi: \( \frac{2}{3} x y^3 , \sqrt{5} x y^3, 3 x y^3, -19 x y^3 \)

Due monomi si dicono opposti se hanno parte letterale identica e coefficienti numerici opposti.

Esempi: 

• \( \dfrac{4}{5} x y^2 \) e \( -\dfrac{4}{5} x y^2 \);
  
• \( 7 a^3 \) e \( -7 a^3 \);
  
• \( \sqrt{17} x^2 y z  \) e \( -\sqrt{17} x^2 y z  \).
  

In un monomio, si dice "grado" la somma degli esponenti di tutte le variabili che costituiscono la parte letterale.

Esempio: il monomio \(-5 a^3 b^2 c\) è di sesto grado.

È possibile eseguire l'operazione di addizione su monomi simili e non simili: nei due casi si ottengono risultati molto diversi.

La somma di monomi simili è un monomio simile ai due dati con coefficiente numerico pari alla somma dei coefficienti.

Esempio:

\(-4 x^2 z +\dfrac{2}{3} x^2 z - 7 x^2 z = - \dfrac{31}{3} x^2 z\)

Proprietà dell'addizione tra monomi simili:

• proprietà associativa;
• proprietà commutativa;
• esistenza dell'elemento neutro rispetto all'addizione (ossia lo 0);
• esistenza dell'elemento inverso rispetto all'addizione (ossia l'opposto dell'elemento dato).

La somma di monomi non simili non è più un monomio, bensì un polinomio: quando si hanno monomi non simili, infatti, l'espressione iniziale rimane inalterata. Tale operazione non è pertanto definita nell'insieme dei monomi.

Esempio:

\(-5 a^2 b  +\dfrac{7}{3} x^2 y + 8 x z = -5 a^2 b  +\dfrac{7}{3} x^2 y + 8 x z  \)

Quando un monomio, che è un'espressione moltiplicativa, viene moltiplicato per un altro monomio, esso genera un nuova espressione moltiplicativa.

Il prodotto di due monomi è un monomio avente per parte letterale il prodotto delle parti letterali dei singoli fattori e come coefficiente numerico il prodotto dei coefficienti numerici.

Esempio: \( 5 a b^3 \cdot (-3 b^2 c) = - 15 a b^5 c\).

Nell'esempio di cui sopra, è possibile notare che la parte letterale del prodotto si ottiene applicando le proprietà delle potenze.

Proprietà della moltiplicazione tra monomi:

• proprietà associativa;
• proprietà commutativa;
• esistenza dell'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione ( ossia 1).

La divisione tra monomi non è definita nell'insieme dei monomi, poiché non sempre il quoziente di due monomi è ancora un monomio. Si ottiene come risultato un monomio soltanto nel caso in cui tutte le variabili del divisore compaiono, con grado maggiore o uguale, anche nel dividendo. 

Esempio: \(4 a^5 b^6 : 5 a^3 b = \dfrac{4}{5} a^2 b^5\).

Negli altri casi, la divisione tra monomi dà origine ad una frazione algebrica.

Esempio: \(8 a^5 b^6 : 3 a^6 x = \dfrac{8}{3} a^{-1} b^6 x^{-1}\).

Nell'insieme dei monomi è definita l'operazione di elevamento a potenza con esponente naturale (ossia intero positivo). 

La potenza di un monomio si ottiene applicando le proprietà delle potenze, in particolare la potenza di potenza.

Esempio: \( (-3 a^3 b^5 c)^2 = 9 a^6 b^{10} c^2 \).

Esempio: \( MCD(12 a^2 b^2, 3 a^4 b c, 9 a^3 b c^2, 30 a^2 b c^3) = 3 a^2 b \)

Il minimo comune multiplo di due o più monomi a coefficienti naturali è dato dal prodotto di tutti i fattori, sia quelli comuni a tutti, sia quelli non comuni, ciascuno considerato una sola volta e con il massimo esponente.

Esempio: \( mcm(2 x^2 y^3, 5 x y^2 z, 15 x^3 y^2 z^2) = 30 x^3 y^3 z^2 \).