1.2 Polinomi

Un polinomio è un'espressione algebrica costituita dall'addizione o sottrazione di monomi, detti termini del polinomio.

Il numero di termini può variare:

• un polinomio costituito da due termini è detto binomio (es. \(6 x + \sqrt{3} a b^3 \));
• un polinomio formato da tre termini si dice trinomio (es. \( -5 x y^2 + 6 a b - \sqrt{15} x^3 z^3\));
• un polinomio di quattro termini si dice quadrinomio (es.\(\frac{2}{5} a^2 c +4 x y^3 - 12 z - \sqrt{5} a^3 b\)).

Si dice grado di un polinomio il massimo tra i gradi dei suoi termini.

Esempio: il polinomio \(-5 a^3 b^2 c - 3 a + \sqrt{5} x^3 y \) è di sesto grado.

Se tutti i termini del polinomio sono dello stesso grado, il polinomio si definisce omogeneo.

Esempio: \(-5 a^3 b^2 c - 3 x^3 y^2 z + \sqrt{5} a^2 b z^3 \).

Può capitare che alcuni termini del polinomio siano monomi simili. In questo caso, è possibile sommare i termini simili, ottenendo il polinomio riscritto in forma ridotta.

La somma di due polinomi è un polinomio che si ottiene scrivendo, dopo i termini del primo, i termini del secondo, ciascuno con il proprio segno.

Esempio:

\((-4 x^2 z^2 +\frac{2}{3} x z) + (7 x^2 z^2 - \frac{3}{5} x z +5 x y ) = 3 x^2 z^2 + \frac{1}{15} x z + 5 x y\)

La differenza di due polinomi è la somma del primo polinomio con l'opposto del secondo.

Esempio:

\((-4 x^2 z^2 +\frac{2}{3} x z) - (7 x^2 z^2 - \frac{3}{5} x z +5 x y ) = -11 x^2 z^2 + \frac{19}{15} x z - 5 x y\)

Proprietà dell'addizione tra polinomi:

• proprietà associativa;
• proprietà commutativa;
• esistenza dell'elemento neutro rispetto all'addizione (ossia lo 0);
• esistenza dell'elemento inverso rispetto all'addizione (ossia l'opposto del polinomio dato).

Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando il monomio per ogni termine del polinomio.

Esempio: \( 5 a b^3 \cdot (-3 b^2 c + \frac{2}{5} a^2 b) = - 15 a b^5 c + 2 a^3 b^4\).

Il prodotto di due polinomi è il polinomio che ha per termini i prodotti di ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo.

Esempio:

\((-4 x y +5 x^2 y^3 - 2 x^2) \cdot (\sqrt{3} x^2 y - \frac{5}{3} x y) = -4 \sqrt{3} x^3 y^2 + 5 \sqrt{3} x^4 y^4 - 2 \sqrt{3} x^4 y + \frac{20}{3} x^2 y^2 - \frac{25}{3} x^3 y^4 + \frac{10}{3} x^3 y\).

Proprietà della moltiplicazione tra polinomi:

• proprietà associativa;
• proprietà commutativa;
• esistenza dell'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione ( ossia 1).

La divisione tra polinomi non è definita nell'insieme dei polinomi, poiché il quoziente non è in generale un polinomio, bensì una frazione algebrica. 

Anche la divisione di un polinomio per un monomio restituisce, in generale, come risultato una frazione algebrica; il quoziente è un polinomio soltanto se il monomio è divisore di tutti i termini del polinomio.

Esempio: \( (4 a^5 b^6 + 5 a^3 b^2)  : 5 a^3 b = \frac{4}{5} a^2 b^5 + b\).

Nell'insieme dei polinomi, è definita l'operazione di elevamento a potenza con esponente naturale (ossia intero positivo). Si può ricondurre tale operazione alla moltiplicazione di fattori uguali.

Esempio: \( (a^2 + c)^2 = (a^2 + c) \cdot (a^2 + c) = a^4 + c^2 + 2 a^2 c \).

Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale alla differenza tra i loro quadrati:

\((a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2\) 

Esempio: \( (x^2 - \sqrt{7} x y^2) \cdot (x^2 + \sqrt{7} x y^2) = (x^4 - 7 x^2 y^4) \)

Il quadrato di un binomio è dato dalla somma algebrica del quadrato del primo termine, del quadrato del secondo termine e del doppio prodotto dei due termini:

\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 +2 a b\)

Esempio: \( (3 x^3 - \sqrt{5} x y)^2  = 9 x^6 + 5 x^2 y^2 - 6 \sqrt{5} x^4 y \)

Il quadrato di un trinomio è dato dalla somma dei quadrati dei suoi termini più i doppi prodotti di ogni termine per ognuno degli altri due:

\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 +2 a b + 2 a c + 2 b c\)

Esempio: \( (a^2 + 2 a  -1)^2 = a^4 + 4 a^2 +1 +4 a^3 -4 a -2 a^2\)

Il cubo di un binomio è dato dalla somma dei cubi dei due termini, del triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo e del triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo:

\((a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2\)

Esempio: \(  (x - 2 y)^3 = x^3 - 8 y^3 -6 x^2 y + 12 x y^2 \)