1.3 Scomposizione di polinomi

Poniamo il MCD fuori dalla parentesi, all'interno della quale scriviamo il nostro polinomio, dopo aver diviso ogni suo termine per il massimo comune divisore.

Esempio: \( 6 a b - 9 a c + 3 a d = 3 a \cdot ( 2 b -3 c + d )\)

Differenza di due quadrati

Sapendo che il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale alla differenza tra i loro quadrati, dall'espressione \( a^2 - b^2\) si può risalire ai due fattori \( (a + b) \) e \( (a - b) \).

Pertanto, se un binomio è una differenza di due quadrati, esso può essere scomposto nel seguente modo:

\( a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)   \)

Esempio: \( 9 x^2 - 5 y^4 =  (3 x + \sqrt{5} y^2) \cdot (3 x - \sqrt{5} y^2) \)

Quadrato di un binomio

Se l'espressione letterale consiste in un trinomio, di cui due termini sono quadrati di monomi e il terzo termine è il doppio del prodotto dei due monomi, essa può essere scomposta come quadrato di un binomio:

\( a^2 - 2 a b + b^2 = (a - b)^2   \)

\( a^2 + 2 a b + b^2 = (a + b)^2   \)

Esempi: \( 9 x^2 + 7 z^6 - 6 \sqrt{7} x z^3 = (3 x - \sqrt{7} z^3)^2 \)

          \( 9 x^2 + 7 z^6 + 6 \sqrt{7} x z^3 = (3 x + \sqrt{7} z^3)^2 \)

Cubo di un binomio

Un quadrinomio (ossia un polinomio di quattro termini) è un cubo di un binomio, se si presenta nella seguente forma:

\(  a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3 = (a - b)^3\)

Esempio: \(  x^3 - 9 x^2 y^2 + 27 x y^4 - 27 y^6 = ( x - 3 y^2)^3  \)

Un polinomio di grado n a coefficienti reali nella sola variabile x, che indichiamo con P(x), può essere scritto ordinatamente, secondo le potenze decrescenti di x:

\( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + ... + a_1 x + a_0\)

con \( n \in \mathbb{N}\) e \(a_0,...,a_n \in \mathbb{R}  \).

Il teorema di Ruffini stabilisce che il valore che il polinomio P(x) assume sostituendo a x il numero \(r \in \mathbb{R}\) è uguale al resto della divisione di P(x) per il binomio \(A(x) = x - r\).

Il polinomio P(x) è quindi divisibile per il binomio \(A(x)\) se e solo se \(r\) è uno zero di P(x), cioè se e solo se \( P(r) = 0\).

Dividendo P(x) per A(x), si ottiene il polinomio quoziente

\( Q(x) = b_{n-1} x^{n-1} + b_{n-2} x^{n-2} +... + b_1 x +b_0\)

La divisione polinomiale può essere eseguita con il seguente algoritmo, noto come "regola di Ruffini":

1. i coefficienti di P(x) vengono scritti tra le due linee verticali e il termine noto a destra di esse;
2. si riporta sotto la linea il primo coefficiente;
3. si moltiplica il coefficiente scritto (\( a_n\)) per \(r\) e si scrive il risultato nella colonna successiva, sotto il secondo termine (\( a_{n-1}\)); 
4. si esegue l'addizione in colonna e si individua così un nuovo coefficiente;
5. si ripete l'operazione per ogni coefficiente.

I coefficienti \( b_{n-1},...,b_0\) sono i coefficienti del polinomio quoziente Q(x), mentre R è il resto della divisione, che è nullo se r è uno zero del polinomio.