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# METODI NUMERICI DI SOLUZIONE DI UN SISTEMA LINEARE
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# METODI  DIRETTI
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# METODO  DI  GAUSS  RIDUZIONE A SCALA  CON MAPLE
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# METODO  DI  GAUSS  JORDAN  CON MAPLE
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# METODI INDIRETTI 
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#  Sono metodi iterativi, adatti all'uso di computer, che consistono nella ricerca delle soluzioni del sistema attraverso approssimazioni successive               
# METODO  DI  JACOBI
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# Il metodo di Jacobi o delle sostituzioni simultanee consiste nel ricavare ogni incognita da ogni equazione, sostituire alle incognite a secondo membro i valori iniziali x1=0 x2= 0 ecc....ricavare i nuovi valori delle incognite e ripetere l'iterazione
# In questo modo ottengo una successione di dati per ogni incognita che converge alla soluzione corrispondente
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# Le difficoltà di applicazione del metodo di Jacobi non dipendono dal calcolo, ma dal determinare se la successione delle soluzioni approssimate converge o no
# E' difficile dare delle condizioni generali di convergenza, ma si possono utilizzare alcune condizioni particolari:
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#  condizione necessaria per la convergenza è che tutti gli elementi della diagonale principale della matrice siano diversi da zero
# condizione sufficiente è che la matrice  A sia una matrice a predominanza diagonale, cioè che gli elementi della diagonale principale siano maggiori in valore assoluto della somma degli altri elementi della riga corrispondente sempre presi in valore assoluto
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# Esempio
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# Matrix(3, 3, {(1, 1) = 4, (1, 2) = -2, (1, 3) = 1, (2, 1) = 2, (2, 2) = 5, (2, 3) = 0, (3, 1) = 1, (3, 2) = 1, (3, 3) = -3});   è a predominanza diagonale perchè:
> ;
#  abs(4) > abs(-2)+abs(1);   ;  abs(5) > abs(2)+abs(0);     ;   |-3|>|1|+|1;
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# E' interessante notare come a volte sia possibile, ordinando opportunamente le equazioni del sistema, trasformare un sistema in modo che sia soddisfatta la condizione della predominanza diagonale
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# METODO  DI  GAUSS SEIDEL
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# Il metodo di Gauss Seidel o delle sostituzioni successive  è una variante  del metodo di Jacobi.
# Mentre nel metodo di Jacobi le sostituzioni si fanno simultaneamente in tutte le equazioni del sistema, nel metodo di Gauss  Seidel  esse si calcolano in un'equazione per volta, sfruttando così i risultati ottenuti dalle equazioni precedenti
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# In questo modo ottengo una successione di dati per ogni incognita che converge alla soluzione corrispondente
# Il metodo di Gauss Seidel è in genere più veloce del metodo di Jacobi.
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# I criteri per fermare l'iterazione e le condizioni di convergenza sono simili a quelli usati per il metodo di Jacobi
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# INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI UN SISTEMA A  DUE EQUAZIONI  E  DUE  INCOGNITE
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# Considero il sistema 
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# Le equazioni rappresentano due rette nel piano cartesiano e risolvere il sistema equivale a trovare le coordinate del loro punto d'intersezione.
# Scrivendo il sistema nella forma
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# Considerando  come punto iniziale il punto P0(0,0)
# Si sostituisce alla y il valore 0 nella prima equazione; si ha il valore x = 6/5. Il punto P1(6/5,0) è la prima approssimazione del risultato.
# Si sostituisce il valore 6/5 alla x nella seconda equazione si ha P2(6/5 , 23/15) e così via
# Graficamente da ogni punto trovato si traccia alternativamente una parallela all'asse x o all'asse y  fino a incontrare l'altra retta; il punto d'intersezione è il nuovo punto dell'iterazione.
# Si ricava una successione di punti che, se il metodo converge, si avvicina sempre più al punto cercato.
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# Se la successione non converge avrò per esempio un grafico di questo tipo
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# In generale , per risolvere numericamente un sistema, i metodi iterativi sono più rapidi dei metodi diretti, e hanno un minor costo computazionale, cioè svolgono un numero minore di operazioni. Inoltre essi sono meno sensibili agli errori di approssimazione.
# Il limite dei metodi iterativi è la convergenza o meno del sistema; se il sistema non converge è necessario usare un metodo diretto
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# ; 
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