Parlando di probabilità vengono in mente i giochi di carte, il lancio di dadi o di monete. Nello specifico il calcolo delle probabilità ha come oggetto di studio gli esperimenti casuali, di cui a priori non si conosce il risultato. Con la proposizione “La probabilità che succeda una certa cosa è..” diamo l’impressione a chi ci ascolta che esista una ed una sola definizione di probabilità mentre non è così. Quando il Calcolo delle Probabilità cominciò a svilupparsi le opinioni degli studiosi cominciarono a divergere e si vennero a creare concezioni diverse di probabilità, come ad esempio la concezione classica, frequentista o soggettivista.

Prima di vedere le varie concezioni di probabilità è necessario dare la definizione di evento. Con il termine evento si intende un qualsiasi fatto o avvenimento che può essere osservato e descritto da un enunciato, come ad esempio “È uscito il 3 nel lancio di un dato”. È importante evitare ogni ambiguità nella definizione di un evento, ovvero è necessario che sia possibile una sola delle conclusioni: l'evento si è verificato, cioè l'enunciato è vero, l'evento non si è verificato, cioè l'enunciato è falso. Si possono avere eventi certi, impossibili o casuali (aleatori).

Il calcolo delle probabilità si occupa di studiare gli eventi aleatori, infatti nell’ambito di questi si possono distinguere eventi che hanno maggiori possibilità di verificarsi rispetto ad altri. Associamo allora ad ogni evento un numero reale, che è tanto maggiore quanto più è elevata la possibilità che si verifichi l’evento stesso, e chiamiamo tale numero probabilità dell’evento (che come vedremo sarà compreso tra 0 e 1).

Esempio: Se una scatola contiene palline bianche e nere, l’estrazione di una pallina nera è un evento possibile ma non certo, cosi come l’estrazione di una pallina bianca. In altre parole, non possiamo prevedere il colore della pallina estratta, perché l’estrazione è casuale, inoltre se nella scatola ho più palline nere che palline bianche avremo più possibilità di estrarne una nera.

Operazioni con gli eventi

Dal momento che gli eventi sono insiemi, si possono utilizzare le operazioni tra insiemi anche tra gli eventi.

Dati due eventi \(E_1\) ed \(E_2\) avremo:

• l’unione di due eventi \( (E_1 \cup E_2) \) che rappresenta l’evento “si verifica \(E_1\) oppure si verifica \(E_2\)” o, in altre parole, si verifica almeno uno dei due eventi;

• l’intersezione dei due eventi \( (E_1 ∩ E_2) \) che rappresenta l’evento “si verifica contemporaneamente \(E_1\) ed \(E_2\)” ossia si verificano entrambi gli eventi. Quando l’intersezione di due eventi è l’insieme vuoto i due eventi si dicono incompatibili o mutuamente esclusivi ed è impossibile che si verifichino contemporaneamente.

• la differenza tra due eventi \((E_1 – E_2)\) che rappresenta l’evento “si verifica \(E_1\) ma non \(E_2\)”;

• il complementare di un evento (\( \overline{E1} \)) che rappresenta l’evento “non si realizza \(E_1\)”.

Esempio

Un esempio di esperimento di cui non si conosce a priori il risultato è il lancio di un dado.

Lo spazio campionario di tutti i possibili risultati è rappresentato dall’insieme \({1, 2, 3, 4, 5, 6}\).

Un evento \(E_1\) può essere “esce un numero pari”, rappresentato dall’insieme \({2, 4, 6}\).

Un altro evento \(E_2\) può essere “esce un numero maggiore di \(4\)”, rappresentato dall’insieme \({5, 6}\).

L’intersezione dei due eventi è l’evento “esce un numero pari maggiore di \(4\)”: \( E_1 ∩ E_2 = {6} \).

Il complementare dell’evento \(E_1\) è “esce un numero dispari”, mentre il complementare dell’evento \(E_2\) è “esce un numero minore o uguale a \(4\)”.