1.3 Scomposizione di polinomi
1. Metodi di scomposizione
1.3. Regola di Ruffini
Un polinomio di grado n a coefficienti reali nella sola variabile x, che indichiamo con P(x), può essere scritto ordinatamente, secondo le potenze decrescenti di x:
P(x)=anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+...+a1x+a0
con n∈N e a0,...,an∈R.
Il teorema di Ruffini stabilisce che il valore che il polinomio P(x) assume sostituendo a x il numero r∈R è uguale al resto della divisione di P(x) per il binomio A(x)=x−r.
Il polinomio P(x) è quindi divisibile per il binomio A(x) se e solo se r è uno zero di P(x), cioè se e solo se P(r)=0.
Dividendo P(x) per A(x), si ottiene il polinomio quoziente
Q(x)=bn−1xn−1+bn−2xn−2+...+b1x+b0
La divisione polinomiale può essere eseguita con il seguente algoritmo, noto come "regola di Ruffini":
- i coefficienti di P(x) vengono scritti tra le due linee verticali e il termine noto a destra di esse;
- si riporta sotto la linea il primo coefficiente;
- si moltiplica il coefficiente scritto (an) per r e si scrive il risultato nella colonna successiva, sotto il secondo termine (an−1);
- si esegue l'addizione in colonna e si individua così un nuovo coefficiente;
- si ripete l'operazione per ogni coefficiente.
I coefficienti bn−1,...,b0 sono i coefficienti del polinomio quoziente Q(x), mentre R è il resto della divisione, che è nullo se r è uno zero del polinomio.