1.3 Scomposizione di polinomi

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1. Metodi di scomposizione

1.3. Regola di Ruffini

Un polinomio di grado n a coefficienti reali nella sola variabile x, che indichiamo con P(x), può essere scritto ordinatamente, secondo le potenze decrescenti di x:

P(x)=anxn+an1xn1+an2xn2+...+a1x+a0

con nN e a0,...,anR.

Il teorema di Ruffini stabilisce che il valore che il polinomio P(x) assume sostituendo a x il numero rR è uguale al resto della divisione di P(x) per il binomio A(x)=xr.

Il polinomio P(x) è quindi divisibile per il binomio A(x) se e solo se r è uno zero di P(x), cioè se e solo se P(r)=0.

Dividendo P(x) per A(x), si ottiene il polinomio quoziente

Q(x)=bn1xn1+bn2xn2+...+b1x+b0

La divisione polinomiale può essere eseguita con il seguente algoritmo, noto come "regola di Ruffini":

  1. i coefficienti di P(x) vengono scritti tra le due linee verticali e il termine noto a destra di esse;
  2. si riporta sotto la linea il primo coefficiente;
  3. si moltiplica il coefficiente scritto (an) per r e si scrive il risultato nella colonna successiva, sotto il secondo termine (an1); 
  4. si esegue l'addizione in colonna e si individua così un nuovo coefficiente;
  5. si ripete l'operazione per ogni coefficiente.


I coefficienti bn1,...,b0 sono i coefficienti del polinomio quoziente Q(x), mentre R è il resto della divisione, che è nullo se r è uno zero del polinomio.