PRIMO ESEMPIO

Un’urna contiene 20 palline, di cui 12 bianche e 8 nere.

Si estraggono due palline, senza reinserire nell’urna la prima estratta.

Qual è la probabilità che siano dello stesso colore?

Si tratta di calcolare la probabilità dell’unione di due eventi incompatibili:

Partiamo dall’evento \(E_1\) “le due palline estratte sono entrambe bianche”. Questo significa che la prima pallina estratta è bianca e che la seconda pallina estratta è bianca. Notiamo la congiunzione “e” che ci suggerisce una intersezione tra i due eventi:

Nel nostro caso i due eventi sono dipendenti in quanto l’estrazione della seconda pallina dipende dalla prima estratta e non reinserita nell’urna e quindi vale:

\(p(E_{11})\) e \(p(E_{12}|E_{11})\) sono stati calcolati come rapporto tra il numero di esiti favorevoli e il numero di esiti possibili:

• per \(E_{11}\) si hanno \(12\) esiti favorevoli e \(20\) possibili quindi \(p(E_{11}) = \dfrac{12}{20}\)

• per \(E_{12}|E_{11}\) si hanno \(11\) esiti favorevoli e \(19\) possibili quindi \(p(E_{12}|E_{11}) = \dfrac{11}{19} \)

Passiamo all’evento \(E_2\) “le due palline estratte sono entrambe nere”. Si applica lo stesso ragionamento trovando:

\(p(E_2) = 0,15 = 15 \% \)

Lasciamo al lettore la possibilità di sviluppare i passaggi nel dettaglio.

Per rispondere alla domanda iniziale, si calcola la probabilità dell’unione dei due eventi \(E_1\) ed \(E_2\) che abbiamo detto essere incompatibili:

\( p(E_1 \cup E_2) = p(E_1) + p(E_2) = 0,35 + 0,15 = 0,50 = 50 \%\)

In conclusione la probabilità che le due palline estratte dall’urna siano dello stesso colore è del \(50 \% \).

SECONDO ESEMPIO

Determinare la probabilità matematica che una coppia abbia tre figlie femmine

Utilizziamo, ad esempio, un diagramma ad albero per rappresentare i casi possibili in modo da avere un'elencazione grafica di tutti gli elementi dello spazio campione (indichiamo con 1F= primo figlio, 2F=secondo figlio, 3F=terzo figlio). 

Se scriviamo su ciascun ramo la probabilità dell'evento rappresentato nel nodo seguente, avremo che la probabilità di uno qualsiasi degli eventi sui rami terminali è data dal prodotto delle probabilità scritte sull'intero percorso (questa regola è detta regola del prodotto).
Poichè la probabilità che nasca un figlio maschio o che nasca un figlio femmina è in entrambi i casi uguale a \(\dfrac{1}{2}\), avremo che:

\( p(3F) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8} \)