1. che il punteggio sia compreso tra $39$ e $43$;
2. che il punteggio sia inferiore a $30$.

Indichiamo con $X=N(48; 12)$ la variabile casuale normale con una funzione di densità di probabilità normale, che rappresenta i punteggi assegnati. Per semplificare il calcolo, standardizziamo la variabile $X$ nella variabile $Z$:

$Z= \frac{X- \mu }{\sigma}$

In questo modo abbiamo ottenuto ancora una variabile casuale normale ma con valore medio $μ=0$ e deviazione standard $σ=1$. Scriveremo allora $Z=N(0; 1)$.

Il calcolo della probabilità che la variabile $N(48; 12)$ assuma un valore compreso tra $39$ e $43$, si riconduce al calcolo della probabilità che la variabile $N(0; 1)$ assuma un valore compreso tra tra $-0.75$ e $-0.42$, essendo questi i due valori di $Z$ corrispondenti ai precedenti. Infatti applicando la relazione:

$Z= \frac{X- 48}{12}$

si ha:

$x_1=39→ z_1=\frac{39- 48}{12}=-0.75$

$x_2=43→ z_1=\frac{43- 48}{12}=-0.42$

Si sono approssimati i valori alla seconda cifra decimale.

Esiste una tavola apposita, detta tavola di Sheppard, che fornisce il valore delle aree sottostanti la curva gaussiana $f(z)$ tra $0$ e un valore di $z$, cioè $F(z)=P(0<Z<z)$. In questa tavola, le righe sono in corrispondenza alla parte decimale del valore $z$ e le colonne corrispondono ai centesimi. Per esempio, per trovare il valore di $F(1.35)$ occorre individuare la riga in cui compare il numero $1.3$ e scorrerla fino alla colonna corrispondente al numero $0.05$; la casella così individuata contiene il valore cercato. Ricordiamo inoltre che la simmetria della curva gaussiana rispetto l'asse y comporta che la stessa tavola possa essere utilizzata anche per valori negativi della variabile $Z$, infatti:

$P(-z<Z<0)=P(0<Z<z)$.

Applichiamo la tavola per trovare il valore cercato:

$P(-0.75<Z<-0.42)=P(0.42<Z<0.75)=P(0<Z<0.75)-P(0<Z<0.42)=0.2734-0.1628=0.1106$.

Quindi, se trasformiamo il dato in percentuale, la probabilità che il punteggio sia compreso tra $39$ e $43$ è l' $11\%$ circa.

Per risolvere il secondo quesito calcoliamo:

$x_3=30→ z_1=\frac{30- 48}{12}=-1.5$

E di conseguenza avremo:

$P(-∞<Z<-1.5)=P(1.5<Z<+∞)=P(0<Z<+∞)-P(0<Z<1.5)=0.5-0.4332=0.0668$.

Quindi, se trasformiamo il dato in percentuale, la probabilità che il punteggio sia inferiore a $30$ è il $6\%$ circa.