1. che il punteggio sia compreso tra \(39\) e \(43\);
2. che il punteggio sia inferiore a \(30\).

Indichiamo con \(X=N(48; 12)\) la variabile casuale normale con una funzione di densità di probabilità normale, che rappresenta i punteggi assegnati. Per semplificare il calcolo, standardizziamo la variabile \(X\) nella variabile \(Z\):

\( Z= \frac{X- \mu }{\sigma} \)

In questo modo abbiamo ottenuto ancora una variabile casuale normale ma con valore medio \(μ=0\) e deviazione standard \(σ=1\). Scriveremo allora \(Z=N(0; 1)\).

Il calcolo della probabilità che la variabile \(N(48; 12)\) assuma un valore compreso tra \(39\) e \(43\), si riconduce al calcolo della probabilità che la variabile \(N(0; 1)\) assuma un valore compreso tra tra \(-0.75\) e \(-0.42\), essendo questi i due valori di \(Z\) corrispondenti ai precedenti. Infatti applicando la relazione:

\( Z= \frac{X- 48}{12} \)

si ha:

\( x_1=39→ z_1=\frac{39- 48}{12}=-0.75 \)

\( x_2=43→ z_1=\frac{43- 48}{12}=-0.42 \)

Si sono approssimati i valori alla seconda cifra decimale.

Esiste una tavola apposita, detta tavola di Sheppard, che fornisce il valore delle aree sottostanti la curva gaussiana \(f(z)\) tra \(0\) e un valore di \(z\), cioè \(F(z)=P(0<Z<z)\). In questa tavola, le righe sono in corrispondenza alla parte decimale del valore \(z\) e le colonne corrispondono ai centesimi. Per esempio, per trovare il valore di \(F(1.35)\) occorre individuare la riga in cui compare il numero \(1.3\) e scorrerla fino alla colonna corrispondente al numero \(0.05\); la casella così individuata contiene il valore cercato. Ricordiamo inoltre che la simmetria della curva gaussiana rispetto l'asse y comporta che la stessa tavola possa essere utilizzata anche per valori negativi della variabile \(Z\), infatti:

\(P(-z<Z<0)=P(0<Z<z)\).

Applichiamo la tavola per trovare il valore cercato:

\(P(-0.75<Z<-0.42)=P(0.42<Z<0.75)=P(0<Z<0.75)-P(0<Z<0.42)=0.2734-0.1628=0.1106\).

Quindi, se trasformiamo il dato in percentuale, la probabilità che il punteggio sia compreso tra \(39\) e \(43\) è l' \(11\%\) circa.

Per risolvere il secondo quesito calcoliamo:

\( x_3=30→ z_1=\frac{30- 48}{12}=-1.5 \)

E di conseguenza avremo:

\(P(-∞<Z<-1.5)=P(1.5<Z<+∞)=P(0<Z<+∞)-P(0<Z<1.5)=0.5-0.4332=0.0668\).

Quindi, se trasformiamo il dato in percentuale, la probabilità che il punteggio sia inferiore a \(30\) è il \(6\%\) circa.