Calcolo dei limiti

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1. Proprietà dei limiti

1.1. Operazioni con limiti infiniti e forme indeterminate

Operazioni con limiti infiniti

    • Se esiste il \( \displaystyle \lim_{x \to a}{f(x)}=\infty \), allora esiste il  \( \displaystyle \lim_{x \to a}{\dfrac{1}{f(x)}}=0\).

NOTA BENE: Si dice che \( y=f(x) \) è un infinito per \( x \) tendente ad \( a \), se il suo limite è \( \infty \), si dice invece che è un infinitesimo per \( x \) tendente ad \( a \) se il suo limite è \( 0 \). Quindi:

\( f \) infinito \( \Rightarrow \)  \( \dfrac{1}{f(x)} \) infinitesimo 


    • Se \( y=f(x) \) e \( y=g(x) \) tendono entrambe a \( +\infty \)\( -\infty \), per \( x \) tendente ad  \( a \), anche la funzione \( y=f(x)+g(x) \) tende rispettivamente a \( +\infty \)\( -\infty \).

NOTA BENE: Il teorema non dice nulla nel caso in cui le due funzioni tendano ad infinito ma con segno diverso: in questo caso si ottiene un situazione indeterminata.

Per le operazioni con limiti infiniti si ottengono le seguenti forme indeterminate:

\( \infty - \infty \)         \( 0 \cdot \infty \)       \( \dfrac{0}{0} \)        \( \dfrac{\infty}{\infty} \) 


Ottenere una forma indeterminata non significa che il limite non esiste, ma solo che il limite non è determinabile con le regole operative stabilite dai teoremi.


Esempio. Determinare:

 \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{x^3+2x^2-3}{4x^3-x+1}=\infty \)

Sostituendo il valore \( \infty \) alla variabile \( x \) otteniamo la forma indeterminata \( \dfrac{\infty}{\infty} \).

Allora riscriviamo la funzione ponendo in evidenza \( x^3 \) al numeratore e al denominatore 

e semplificando:

\( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{x^3 \left (1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^3} \right )}{x^3 \left (4-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3} \right )}=\dfrac{1}{4} \)

Infatti quando \( x \) tende ad infinito, i termini che contengono una potenza di \( x \) al denominatore tendono a zero.

Graficamente questo risultato significa che la funzione ha un asintoto orizzontale di equazione \( y=\dfrac{1}{4} \).