Calcolo dei limiti

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1. Proprietà dei limiti

1.3. Calcolo dei limiti

Poiché normalmente anche le funzioni più complesse sono il risultato della composizione di funzioni elementari, è indispensabile conoscere bene il valore dei limiti delle funzioni elementari agli estremi del loro dominio:

  • funzione identità: \( f(x)=x \)
     \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=-\infty \);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

  • funzione potenza con esponente pari: \( f(x)=x^n \) con \( n \) pari
     \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=+\infty\);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

  • funzione potenza con esponente dispari: \( f(x)=x^n \) con \( n \) dispari
     \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=-\infty\);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

  • funzione esponenziale con base maggiore di 1: \( f(x)=a^x \) con \( a>1 \)
     \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=0 \);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

  • funzione esponenziale con base minore di 1: \( f(x)=a^x \) con \(0< a<1 \)
     \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=+\infty \);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=0 \)

  • funzione logaritmica con base maggiore di 1: \( f(x)=\log_a{x} \) con \( a>1 \)
     \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+}{f(x)}=-\infty \);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

  • funzione logaritmica con base minore di 1: \( f(x)=\log_a{x} \) con \( 0<a<1 \)
     \( \displaystyle \lim_{x \to 0^+}{f(x)}=+\infty \);      \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=-\infty \)

Dato il grafico di una funzione è possibile dedurne i limiti. Ad esempio, data la funzione \( y=\dfrac{3x^3}{x-5} \) e il suo grafico:


possiamo dedurre che:

 \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty}{f(x)}=+\infty \)

 \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty}{f(x)}=+\infty \)

 \( \displaystyle \lim_{x \to 5^-}{f(x)}=-\infty \)

 \( \displaystyle \lim_{x \to 5^+}{f(x)}=+\infty \)

la retta \(x=5\) è un asintoto verticale.