Le successioni

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1. Le successioni numeriche

1.1. Proprietà e limiti delle successioni

Dato che le successioni sono definite da funzioni, è possibile calcolarne il limite per studiarne l'andamento al crescere di n, ovvero limn+an.

Una successione può essere

  • convergente: se esiste finito il limn+an.
    Ad esempio, an=21n2

  • divergente: se esiste infinito il limn+an.
    Ad esempio, an=3n3

  • irregolare: se il limite non esiste.
    Ad esempio, an=sinnπ2


Non bisogna confondere la caratteristica di una successione di essere convergente o divergente con quella di essere crescente o decrescente. Quest'ultime indicano solo che i termini sono via via rispettivamente più grandi (per ogni n, an>an1) o più piccoli (per ogni n, an<an1), e indicano la possibilità che la successione sia limitata.

NOTA BENE. Una successione può essere crescente senza essere divergente, e una successione decrescente può essere divergente.


Esempio: Determiniamo il carattere della successione an=1+13n attraverso il calcolo del limite:

limn+(1+13n)2n=[limn+(1+13n)3n]23=e23=3e2

si tratta di una successione regolare convergente.


Esempio: Determiniamo il carattere della successione n6+lnn+3n2n+n4+ln5n:

limn+n6+lnn+3n2n+n4+ln5n=limn+3n2n=+

Si tratta di una successione regolare divergente.