Le successioni
1. Le successioni numeriche
1.1. Proprietà e limiti delle successioni
Dato che le successioni sono definite da funzioni, è possibile calcolarne il limite per studiarne l'andamento al crescere di n, ovvero limn→+∞an.
Una successione può essere
- convergente: se esiste finito il limn→+∞an.
Ad esempio, an=2−1n2 - divergente: se esiste infinito il limn→+∞an.
Ad esempio, an=3n3 - irregolare: se il limite non esiste.
Ad esempio, an=sinnπ2
Non bisogna confondere la caratteristica di una successione di essere convergente o divergente con quella di essere crescente o decrescente. Quest'ultime indicano solo che i termini sono via via rispettivamente più grandi (per ogni n, an>an−1) o più piccoli (per ogni n, an<an−1), e indicano la possibilità che la successione sia limitata.
NOTA BENE. Una successione può essere crescente senza essere divergente, e una successione decrescente può essere divergente.
Esempio: Determiniamo il carattere della successione an=1+13n attraverso il calcolo del limite:
limn→+∞(1+13n)2n=[limn→+∞(1+13n)3n]23=e23=3√e2
si tratta di una successione regolare convergente.
Esempio: Determiniamo il carattere della successione n6+lnn+3n2n+n4+ln5n:
limn→+∞n6+lnn+3n2n+n4+ln5n=limn→+∞3n2n=+∞
Si tratta di una successione regolare divergente.