Da un punto di vista intuitivo, una funzione è continua quando è possibile tracciare il suo grafico "senza staccare la penna dal foglio".

Utilizzando la definizione di limite, affermiamo che una funzione \(y=f(x) \) è continua in un punto \( a \in \mathbb{R} \) se vi è definita ed il suo limite, per \( x \) tendente ad \( a \), coincide con il valore della funzione in \( a \):

 \( \displaystyle \lim_{x \to a}{f(x)}=f(a) \)

Una funzione si dice continua in un intervallo (o in tutto il suo insieme di definizione) se è continua in ogni suo punto.

NOTA BENE. Conoscere gli intervalli nei quali una funzione è continua è piuttosto importante, perché dove è continua non c'è necessità di calcolarne il limite: il calcolo del limite si effettua soltanto nei punti di discontinuità oppure per  \( x \)  tendente all'infinito.

Esempi di funzione continue

• La funzione costante \( y=k \) è continua in \( \mathbb{R} \)
  
• La funzione identica \( y=x \) è continua in \( \mathbb{R} \)
  
• Ogni funzione polinomiale è continua in \( \mathbb{R} \)
• Ogni funzione razionale fratta \( y=\dfrac{p(x)}{q(x)} \) è continua in \( \mathbb{R}-{x,q(x)=0} \)
• Le funzioni \( y=\cos{x} \) e \( y=\sin{x} \) sono continua in \( \mathbb{R} \)
• La funzione \( y=e^x \) è continua in \( \mathbb{R} \)